二重积分中经常使用转变积分区域的形式去根号

一、题目题目 - 荒原之梦

已知积分区域 D = {(x,y)|x|+|y|1}

则:

I=D(|x|+|y|)dx dy=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

对于题目中 |x|+|y|1 所确定的积分区域,我们可以通过寻找一些特值点的方式确定其大致形状,例如:

(0,1),(1,0),(14,14),

据此,我们就可以绘制出该积分区域 D(阴影部分)以及该积分区域在第一象限的部分 D1 区域:

荒原之梦 | 二重积分中经常使用转变积分区域的形式去根号
图 01.

又因为被积函数关于 xy 都是偶函数,且积分区域 D 关于 x 轴和 y 轴都对称,因此:

D(|x|+|y|) dx dy=4D1(x+y) dx dy

又因为积分区域关于 y=x 对称,因此:

D1x dx dy=D1y dx dy

D1(x+y) dx dy = 12[D1(x+y) dx dy + D1(y+x) dx dy]

于是:

D(|x|+|y|) dx dy=8Dx dx dy

x+y=1 y=(1x)2.

801x dx0(1x)21 dy

解法 1

801x(1x)2 dx

801x(1+x2x) dx

801(x12+x322x) dx

8[23x32|01+25x52|01x2|01]

8[23+251]=8(16151515)=815.

解法 2

已知:

801x(1x)2 dx.

令:

x=sin2tx=sin4t

又:

x(0,1)t(0,π2)

 dx=4sin3tcost dt

于是:

801x(1x)2 dx

80π2sin2tcos4t4sin3tcost dt

4×80π2sin5tcos5t dt.

又:

sin2α=2sinαcosα

12sin2α=sinαcosα

(12sin2α)5=(sinαcosα)5.

于是:

4×80π2sin5tcos5t dt

4×80π125sin52t dt

4×825120πsin52t d(2t)

8240πsin5θ dθ

824×20π2sin5θ dθ

823×45×23×1=23×222123×15=815.


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