当积分区域出现“圆形”时，就要考虑转换为极坐标系求解

一、题目

$I = \int_{0}^{1} d x \int_{1 - x}^{\sqrt{1 - x^{2}}} \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}} d y = ?$

难度评级：

当积分区域不是圆形时也可能可以转到极坐标求解积分，例如这道题。

由题知：

$x \in (0, 1)$

$y = 1 - x$

$y = \sqrt{1 - x^{2}} \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 1$

因此，我们可以绘制出该积分区域（阴影部分）：

由于阴影区域属于单位圆的一部分，因此，我们可以尝试将直角坐标系下不易计算的二重积分转换为极坐标系下的二重积分进行计算。

又：

$\frac{x + y}{x^{2} + y^{2}} \Rightarrow {\begin{cases} x = r \cos θ \\ y = r \sin θ \end{cases} \Rightarrow$

$\frac{r \cos θ + r \sin θ}{r^{2} \cos^{2} θ + r^{2} \sin^{2} θ} \Rightarrow \frac{\cos θ + \sin θ}{r}$

且：

$y = 1 - x \Rightarrow {\begin{cases} x = r \cos θ \\ y = r \sin θ \end{cases} \Rightarrow$

$r \sin θ = 1 - r \cos θ \Rightarrow r (\sin θ + \cos θ) = 1 \Rightarrow$

$r = \frac{1}{\cos θ + \sin θ}$

于是：

$I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{\frac{π}{\cos θ + \sin θ}}^{1} \frac{\cos θ + \sin θ}{r} \cdot r d r =$

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{\frac{1}{\cos θ + \sin θ}}^{1} (\cos θ + \sin θ) d r =$

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (\cos θ + \sin θ) [1 - \frac{1}{\cos θ + \sin θ}] d θ =$

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (\cos θ + \sin θ) \times \frac{\cos θ + \sin θ - 1}{\cos θ + \sin θ} d θ =$

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (\cos θ + \sin θ - 1) d θ =$

${\sin θ |}_{0}^{\frac{π}{2}} - {\cos θ |}_{0}^{\frac{π}{2}} - (\frac{π}{2} - 0) =$

$(1 - 0) - (0 - 1) - \frac{π}{2} = 2 - \frac{π}{2} .$

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