当积分区域出现“圆形”时，就要考虑转换为极坐标系求解

一、题目

$$
I = \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y = ?
$$

难度评级：

当积分区域不是圆形时也可能可以转到极坐标求解积分，例如 这道题 。

二、解析

由题知：

$$
x \in (0, 1)
$$

$$
y=1-x
$$

$$
y=\sqrt{1-x^{2}} \Rightarrow x^{2}+y^{2}=1
$$

因此，我们可以绘制出该积分区域（阴影部分）：

由于阴影区域属于单位圆的一部分，因此，我们可以尝试将直角坐标系下不易计算的二重积分转换为极坐标系下的二重积分进行计算。

又：

$$
\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta\end{array} \Rightarrow\right.
$$

$$
\frac{r \cos \theta+r \sin \theta}{r^{2} \cos ^{2} \theta+r^{2} \sin ^{2} \theta} \Rightarrow \frac{\cos \theta+\sin \theta}{r}
$$

且：

$$
y=1-x \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta\end{array} \Rightarrow\right.
$$

$$
r \sin \theta=1-r \cos \theta \Rightarrow r(\sin \theta+\cos \theta)=1 \Rightarrow
$$

$$
r=\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}
$$

于是：

$$
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d} \theta \int_{\frac{\pi}{\cos \theta+\sin \theta}}^{1} \frac{\cos \theta+\sin \theta}{r} \cdot r \mathrm{d} r =
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d} \theta \int_{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}}^{1}(\cos \theta+\sin \theta) \mathrm{d} r =
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos \theta+\sin \theta)\left[1-\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}\right] \mathrm{d} \theta =
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos \theta+\sin \theta) \times \frac{\cos \theta+\sin \theta-1}{\cos \theta+\sin \theta} \mathrm{d} \theta =
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos \theta+\sin \theta-1) \mathrm{d} \theta=
$$

$$
\left.\sin \theta\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}-\left.\cos \theta\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}-\left(\frac{\pi}{2}-0\right)=
$$

$$
(1-0)-(0-1)-\frac{\pi}{2}=2-\frac{\pi}{2}.
$$

---