使用极坐标系简化二重积分的运算:基础版例题

一、题目题目 - 荒原之梦

求解二重积分:

02dx02xx2x2+y2dy.

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

由题知:

x(0,2)

y=2xx2y2=2xx2

x2+y2=2x

y2+y22x=0(x1)2+y2=1

且:

y>0

于是,我们可以绘制出该积分的积分区域:

图 01.

进而:

{x=rcosθy=rsinθ

x2+y2=(rcosθ)2+(rsinθ)2

r2(sin2θ+cos2θ)=r.

于是:

02dx02xx2x2+y2dy=

0π2dθ02cosθrrdr=

0π2(13r3|02cosθ)dθ=

830π2cos3θdθ=83×23×1=169.


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