使用极坐标系简化二重积分的运算：基础版例题

一、题目

求解二重积分：

$$
\int_{0}^{2} \mathrm{d} x \int_{0}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{d} y.
$$

难度评级：

二、解析

由题知：

$$
x \in (0,2)
$$

$$
y=\sqrt{2 x-x^{2}} \Rightarrow y^{2}=2 x-x^{2} \Rightarrow
$$

$$
x^{2}+y^{2}=2 x \Rightarrow
$$

$$
y^{2}+y^{2}-2 x=0 \Rightarrow(x-1)^{2}+y^{2}=1
$$

且：

$$
y > 0
$$

于是，我们可以绘制出该积分的积分区域：

进而：

$$
\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta\end{array} \Rightarrow \right.
$$

$$
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(r \cos \theta)^{2}+(r \sin \theta)^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\sqrt{r^{2}\left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta\right)}=r.
$$

于是：

$$
\int_{0}^{2} \mathrm{d} x \int_{0}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{d} y=
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{2 \cos \theta} r \cdot r \mathrm{d} r =
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\left.\frac{1}{3} r^{3}\right|_{0} ^{2 \cos \theta}\right) \mathrm{d} \theta =
$$

$$
\frac{8}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{3} \theta \mathrm{d} \theta=\frac{8}{3} \times \frac{2}{3} \times 1=\frac{16}{9}.
$$

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