注意！这里有一个很容易被误认为是函数的式子

一、题目

已知函数 $f(x)$ 连续，且 $x^2+y^2+z^2$ $=$ ${\int }_x^{y}f(x+y-t)\mathrm{d}t$ 确定了二元函数 $z$ $=$ $z(x,y)$, 则 $z(\frac{\partial z}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial z}{\partial y})$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

首先，虽然 $z$ 是一个函数，但是这个函数有 $x$ 和 $y$ 两个自变量，因此，$z(\frac{\partial z}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial z}{\partial y})$ 这个只含有一个自变量 $\frac{\partial z}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial z}{\partial y}$ 的式子不可能表示的是一个函数，事实上：

$$z(\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y})\iff z(x,y)\times (\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y})$$

完整的求解步骤如下：

令 $k=x+y-t$, 则：

$$t=x+y-k$$

$$t\in (x,y)\Rightarrow$$

$$k\in (y,x)$$

$$dt=d(x+y-k)=-\mathrm{d}k$$

注意：如上式，当被积变量为 $t$ 时，$x$ 和 $y$ 都要看作常数进行处理。

进而：

$${\int }_x^{y}f(x+y-t)dt\Rightarrow -{\int }_y^{x}f(k)\mathrm{d}k.$$

于是：

$$x^2+y^2+z^2={\int }_x^{y}f(x+y-t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$x^2+y^2+z^2={\int }_x^{y}f(k)\mathrm{d}k\mathrm{①}$$

在 $\mathrm{①}$ 式中对 $x$ 求偏导：

$$2x+2z\cdot z_x^{\prime }=-f(x)\mathrm{②}$$

在 $\mathrm{①}$ 式中对 $y$ 求偏导：

$$2y+2z\cdot z_y^{\prime }=f(y)\mathrm{③}$$

联立 $\mathrm{②}$ 和 $\mathrm{③}$, 可得：

$$z\cdot (\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y})=z\cdot (z_x^{\prime }+z_y^{\prime })\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}[f(y)-f(x)-2x-2y]\Rightarrow$$

$$\frac{1}{2}[f(y)-f(x)]-(x+y).$$

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