注意!这里有一个很容易被误认为是函数的式子

一、题目题目 - 荒原之梦

已知函数 f(x) 连续,且 x2+y2+z2 = xyf(x+yt)dt 确定了二元函数 z = z(x,y), 则 z(zx + zy) = ?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,虽然 z 是一个函数,但是这个函数有 xy 两个自变量,因此,z(zx + zy) 这个只含有一个自变量 zx + zy 的式子不可能表示的是一个函数,事实上:

z(zx+zy)z(x,y)×(zx+zy)

完整的求解步骤如下:

k=x+yt, 则:

t=x+yk

t(x,y)

k(y,x)

dt=d(x+yk)=dk

注意:如上式,当被积变量为 t 时,xy 都要看作常数进行处理。

进而:

xyf(x+yt)dtyxf(k)dk.

于是:

x2+y2+z2=xyf(x+yt)dt

x2+y2+z2=xyf(k)dk

式中对 x 求偏导:

2x+2zzx=f(x)

式中对 y 求偏导:

2y+2zzy=f(y)

联立 , 可得:

z(zx+zy)=z(zx+zy)

12[f(y)f(x)2x2y]

12[f(y)f(x)](x+y).


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