注意！这里有一个很容易被误认为是函数的式子

一、题目

已知函数 $f(x)$ 连续，且 $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ $=$ $\int_{x}^{y} f(x+y-t) \mathrm{d} t$ 确定了二元函数 $z$ $=$ $z(x, y)$, 则 $z(\frac{\partial z}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial z}{\partial y})$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

首先，虽然 $z$ 是一个函数，但是这个函数有 $x$ 和 $y$ 两个自变量，因此，$z(\frac{\partial z}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial z}{\partial y})$ 这个只含有一个自变量 $\frac{\partial z}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial z}{\partial y}$ 的式子不可能表示的是一个函数，事实上：

$$
z \Big(\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} \Big) \Leftrightarrow z (x, y) \times \Big(\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial y} \Big)
$$

完整的求解步骤如下：

令 $k=x+y-t$, 则：

$$
t=x+y-k
$$

$$
t \in(x, y) \Rightarrow
$$

$$
k \in(y, x)
$$

$$
d t=d(x+y-k)=-\mathrm{d} k
$$

注意：如上式，当被积变量为 $t$ 时，$x$ 和 $y$ 都要看作常数进行处理。

进而：

$$
\int_{x}^{y} f(x+y-t) d t \Rightarrow-\int_{y}^{x} f(k) \mathrm{d} k.
$$

于是：

$$
x^{2}+y^{2}+z^{2} = \int_{x}^{y} f(x+y-t) \mathrm{d} t \Rightarrow
$$

$$
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\int_{x}^{y} f(k) \mathrm{d} k \quad ①
$$

在 $①$ 式中对 $x$ 求偏导：

$$
2x + 2z \cdot z_{x}^{\prime} = -f(x) \quad ②
$$

在 $①$ 式中对 $y$ 求偏导：

$$
2 y+2 z \cdot z_{y}^{\prime} =f(y) \quad ③
$$

联立 $②$ 和 $③$, 可得：

$$
z \cdot\left(\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\right)=z \cdot\left(z_{x}^{\prime}+z^{\prime} _{y} \right) \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{2}[f(y)-f(x)-2 x-2 y] \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{2}[f(y)-f(x)]-(x+y).
$$

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