对于有特值的题目一定要及时代入特值进行化简

一、题目

已知函数 $u = f (x, y, z)$ $=$ $e^{x} + y^{2} z$ , 其中 $z$ $=$ $z (x, y)$ 是由方程 $x + y + z + x y z$ $=$ $0$ 所确定的隐函数，则 $u_{x}^{'} (0, 1, - 1)$ $=$ $?$

难度评级：

注意：由于本题是一个特值问题，因此，在做一些计算的时候，没必要将化简运算进行到底之后再代入具体的数值——在进行化简过程中，就可以将能代入的数值代入式子中。

由题可得：

$u_{x}^{'} = e^{x} + y^{2} z^{'} x .$

接着：

$x + y + z + x y z = 0 \Rightarrow$

对 $x$ 求偏导 $\Rightarrow$

$1 + z_{x}^{'} + y z + x y z_{x}^{'} = 0 \Rightarrow$

${\begin{cases} x = 0 \\ y = 1 \\ z = - 1 \end{cases} \Rightarrow$

$1 + z^{'} x + (- 1) = 0 \Rightarrow$

$z^{'} x = 0$

于是：

$u_{x}^{'} = e^{x} + y^{2} z_{x}^{'} \Rightarrow$

$u_{x}^{'} = e^{x} \Rightarrow u_{x}^{'} (0, 1, - 1) = e^{0} = 1.$

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