在进行偏导运算赋值的时候，一定要清楚哪些变量不需要考虑

一、题目

已知函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 可微，函数 $u(x, y)$ $=$ $f(2 x+5 y)$ $+$ $g(2 x-5 y)$, 且：

$$
u(x, 0)=\sin 2 x
$$

$$
u_{y}^{\prime}(x, 0) = 0
$$

则 $f(x)$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

由题知：

$$
u(x, 0) = f(2 x) + g(2 x) = \sin 2 x \quad ①
$$

Next

又：

$$
u^{\prime} _{y} (x, y) = 5 f^{\prime}(2 x+5 y)-5 g^{\prime}(2 x-5 y) \Rightarrow
$$

$$
u_{y}^{\prime}(x, 0) = 5 f^{\prime}(2 x)-5 g^{\prime}(2 x) =
$$

$$
f^{\prime}(2 x)-g^{\prime}(2 x)=0
$$

Next

又由 $①$ 式可得：

$$
2 f^{\prime}(2 x)+2 g^{\prime}(2 x)=2 \cos 2 x.
$$

Next

即：

$$
\left\{\begin{array}{l}
f^{\prime}(2 x)+g^{\prime}(2 x)=\cos 2 x \\
f^{\prime}(2 x)-g^{\prime}(2 x)=0
\end{array}\right.
\Rightarrow
$$

注 意 ：上面这个方程组中的两个式子虽然分别是通过对 $x$ 和对 $y$ 求导得到的，但是，由于 $y$ 已经被赋值为 $0$, 因此，上面的两个式子都纯粹是只关于 $x$ 的式子了，因此可以联立使用。

$$
f^{\prime}(2 x)=\frac{1}{2} \cos 2 x \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)=\frac{1}{2} \cos x \Rightarrow
$$

$$
f(x)=\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \int \cos \mathrm{d} t \Rightarrow
$$

Next

$$
f(x) = \frac{1}{2} \sin x + C
$$

其中，$C$ 为任意常数。

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