在进行偏导运算赋值的时候，一定要清楚哪些变量不需要考虑

一、题目

已知函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 可微，函数 $u(x,y)$ $=$ $f(2x+5y)$ $+$ $g(2x-5y)$, 且：

$$u(x,0)=\sin 2x$$

$$u_y^{\prime }(x,0)=0$$

则 $f(x)$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

由题知：

$$u(x,0)=f(2x)+g(2x)=\sin 2x\mathrm{①}$$

Next

又：

$$u_y^{\prime }(x,y)=5f^{\prime }(2x+5y)-5g^{\prime }(2x-5y)\Rightarrow$$

$$u_y^{\prime }(x,0)=5f^{\prime }(2x)-5g^{\prime }(2x)=$$

$$f^{\prime }(2x)-g^{\prime }(2x)=0$$

Next

又由 $\mathrm{①}$ 式可得：

$$2f^{\prime }(2x)+2g^{\prime }(2x)=2\cos 2x.$$

Next

即：

$$\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(2x)+g^{\prime }(2x)=\cos 2x\\ f^{\prime }(2x)-g^{\prime }(2x)=0\end{array}\Rightarrow$$

注 意 ：上面这个方程组中的两个式子虽然分别是通过对 $x$ 和对 $y$ 求导得到的，但是，由于 $y$ 已经被赋值为 $0$, 因此，上面的两个式子都纯粹是只关于 $x$ 的式子了，因此可以联立使用。

$$f^{\prime }(2x)=\frac{1}{2}\cos 2x\Rightarrow$$

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\cos x\Rightarrow$$

$$f(x)=\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int \cos \mathrm{d}t\Rightarrow$$

Next

$$f(x)=\frac{1}{2}\sin x+C$$

其中，$C$ 为任意常数。

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