用两种不同的思路解决一道隐函数变量替换的题目

一、题目

已知 $y = y(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 上二阶可导，且满足方程：

$$
\left(1-x^2\right) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}-x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+a^2 y=0
$$

那么，作变量替换 $x = \sin t$ 后，$y$ 作为 $t$ 的函数 $y(t)$ 应满足的方程是多少？

难度评级：

解 题 思 路 简 图

graph TB
	A1(隐函数)
	A2(二阶导数)
	A3(变量替换)
	A1 --> B1(用新的变量替换掉隐函数所满足的方程中原有的变量)
	A2 --> B1
	A3 --> B1
	B1 --> C1(复合函数求导)
	C1 --> D1(方法一)
	C1 --> D2(方法二)
	D1 --> E1(用 dy/dt 表示隐函数方程中的 dy/dx)
	D2 --> E2(用 dy/dx 表示 dy/dt)

二、解析

思路一：用 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ 表示 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$

观察可知，原来的函数 $y(x)$ 满足的方程中含有 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ 和 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}$ 这两个关于原来的自变量 $x$ 的组成部分，那么，我们要想求出新的函数 $y(t)$ 所满足的方程，就只需要用关于新自变量 $t$ 的式子，以等价的方式代替所有关于原来的自变量 $x$ 的部分即可。

Next

于是：

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}
$$

又由 $x(t) = \sin t$ 可得：

$$
t(x) = \arcsin x
$$

Next

即：

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}
$$

进而：

$$
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}} = \Big( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \Big) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} = \Big( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}} \Big) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}} = \Big( \textcolor{orange}{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} } \times \textcolor{red}{ \frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}} } \Big) \textcolor{white}{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} } \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}} = \textcolor{orange}{ \Big( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \Big) } \textcolor{white}{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} } \times \textcolor{red}{ \frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}} } + \textcolor{orange}{ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} } \times \textcolor{red}{ \Big( \frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}} \Big) } \textcolor{white}{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} } \Rightarrow
$$

Next

$$
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}} = \frac{\mathrm{d} ^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}} \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x} \times \frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}} + \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \big[ ( 1 – x^{2} )^{-\frac{1}{2}} \big]^{\prime}_{x} \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}} = \frac{\mathrm{d} ^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}} \cdot \frac{1}{1 – x^{2}} + \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \times \frac{-1}{2} ( 1 – x^{2} )^{-\frac{3}{2} } \cdot (-2x) \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}} = \frac{\mathrm{d} ^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}} \cdot \frac{1}{1 – x^{2}} + \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \times \frac{x}{( 1 – x^{2} )^{\frac{3}{2}}}.
$$

注意：$\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}$ $\neq$ $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}$ $+$ $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \cdot \frac{1}{1 – x^{2}}$

Next

于是：

$$
\left(1-x^2\right) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}-x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}+a^2 y = 0 \Rightarrow
$$

$$
\left(1-x^2\right) \Big( \frac{\mathrm{d} ^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}} \cdot \frac{1}{1 – x^{2}} +
$$

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \times \frac{x}{( 1 – x^{2} )^{\frac{3}{2}}} \Big)-x \Big( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}} \Big) + a^2 y = 0 \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{d} ^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}} + \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \cdot \frac{x}{\sqrt{1 – x^{2}}} – \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \cdot \frac{x}{\sqrt{1 – x^{2}}} + a^2 y = 0 \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{d} ^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}} + a^2 y = 0
$$

Next

即，$y$ 作为 $t$ 的函数 $y(t)$ 应满足的方程是：

$$
\frac{\mathrm{d} ^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}} + a^2 y = 0.
$$

思路二：用 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ 表示 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$

由于本题的巧妙设计，我们会发现，如果用 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ 和 $\frac{\mathrm{d} ^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}$ 表示出来 $\frac{\mathrm{d} ^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}}$, 则可以完成对原来的函数 $y(x)$ 所满足的方程中含有自变量 $x$ 的部分的整体替换。

Next

于是：

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \cos t.
$$

Next

进而：

$$
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}} = \Big( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \times \cos t \Big) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}} = \Big( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \Big) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \times \cos t + \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \times \cos t \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}} = \Big( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \Big) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \times \cos t + \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \times (- \sin t) \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}} = \frac{\mathrm{d} ^{2} y}{\mathrm{d} x ^{2}} \cos ^{2} t – \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \sin t \Rightarrow
$$

$$
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}} = \frac{\mathrm{d} ^{2} y}{\mathrm{d} x ^{2}} (1 – \sin ^{2} t) – \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \sin t \Rightarrow
$$

Next

令 $\sin t = x$ $\Rightarrow$

$$
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}} = \frac{\mathrm{d} ^{2} y}{\mathrm{d} x ^{2}} (1 – x ^{2}) – \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} x \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{red}{ \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}} } = \textcolor{orange}{ (1 – x ^{2}) \frac{\mathrm{d} ^{2} y}{\mathrm{d} x ^{2}} – x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} } \Rightarrow
$$

Next

于是：

$$
\textcolor{orange}{ \left(1-x^2\right) \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2} – x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} } + a^2 y = 0 \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{red}{ \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}} } + a^2 y = 0.
$$

Next

即，$y$ 作为 $t$ 的函数 $y(t)$ 应满足的方程是：

$$
\frac{\mathrm{d} ^{2} y}{\mathrm{d} t^{2}} + a^2 y = 0.
$$

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