用两种不同的思路解决一道隐函数变量替换的题目

一、题目

已知 $y=y(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 上二阶可导，且满足方程：

$$(1-x^2)\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}-x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+a^{2}y=0$$

那么，作变量替换 $x=\sin t$ 后，$y$ 作为 $t$ 的函数 $y(t)$ 应满足的方程是多少？

难度评级：

解 题 思 路 简 图

解题思路简图锚点

二、解析

思路一：用 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ 表示 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$

观察可知，原来的函数 $y(x)$ 满足的方程中含有 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 和 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$ 这两个关于原来的自变量 $x$ 的组成部分，那么，我们要想求出新的函数 $y(t)$ 所满足的方程，就只需要用关于新自变量 $t$ 的式子，以等价的方式代替所有关于原来的自变量 $x$ 的部分即可。

Next

于是：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$$

又由 $x(t)=\sin t$ 可得：

$$t(x)=\arcsin x$$

Next

即：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{1}{\sqrt{1–x^2}}$$

进而：

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}=(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{1}{\sqrt{1–x^2}})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\times \frac{1}{\sqrt{1–x^2}})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\times \frac{1}{\sqrt{1–x^2}}+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\times (\frac{1}{\sqrt{1–x^2}})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

Next

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}\times \frac{1}{\sqrt{1–x^2}}+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}[(1–x^2{)}^{-\frac{1}{2}}{]}_x^{\prime }\Rightarrow$$

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}\cdot \frac{1}{1–x^2}+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\times \frac{-1}{2}(1–x^2{)}^{-\frac{3}{2}}\cdot (-2x)\Rightarrow$$

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}\cdot \frac{1}{1–x^2}+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\times \frac{x}{(1–x^2{)}^{\frac{3}{2}}}.$$

注意：$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$ $\ne$ $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{1–x^2}}$ $+$ $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{1}{1–x^2}$

Next

于是：

$$(1-x^2)\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}-x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+a^{2}y=0\Rightarrow$$

$$(1-x^2)(\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}\cdot \frac{1}{1–x^2}+$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\times \frac{x}{(1–x^2{)}^{\frac{3}{2}}})-x(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{1}{\sqrt{1–x^2}})+a^{2}y=0\Rightarrow$$

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{x}{\sqrt{1–x^2}}–\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{x}{\sqrt{1–x^2}}+a^{2}y=0\Rightarrow$$

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}+a^{2}y=0$$

Next

即，$y$ 作为 $t$ 的函数 $y(t)$ 应满足的方程是：

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}+a^{2}y=0.$$

思路二：用 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 表示 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$

由于本题的巧妙设计，我们会发现，如果用 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 和 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$ 表示出来 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}$, 则可以完成对原来的函数 $y(x)$ 所满足的方程中含有自变量 $x$ 的部分的整体替换。

Next

于是：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\cos t.$$

Next

进而：

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}=(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\times \cos t)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Rightarrow$$

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}=(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\times \cos t+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\times \cos t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Rightarrow$$

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}=(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\times \cos t+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\times (-\sin t)\Rightarrow$$

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}=\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}{\cos }^{2}t–\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\sin t\Rightarrow$$

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}=\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}(1–{\sin }^{2}t)–\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\sin t\Rightarrow$$

Next

令 $\sin t=x$ $\Rightarrow$

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}=\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}(1–x^2)–\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}x\Rightarrow$$

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}=(1–x^2)\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}–x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\Rightarrow$$

Next

于是：

$$(1-x^2)\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}–x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+a^{2}y=0\Rightarrow$$

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}+a^{2}y=0.$$

Next

即，$y$ 作为 $t$ 的函数 $y(t)$ 应满足的方程是：

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}+a^{2}y=0.$$

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