复杂的式子千万不要使用常规方法求解：整体代换，化繁为简

一、题目

已知：

$$
f(x) = x^{2} (x+1)^{2} (x+2)^{2} (x+3)^{2}.
$$

则 $f^{\prime \prime}(0) = ?$

难度评级：

二、解析

令 $A$ $=$ $(x+1)^{2} (x+2)^{2} (x+3)^{2}$, 则：

$$
f(x) = x^{2} A
$$

于是：

$$
f^{\prime}(x) = 2x A + x^{2} A ^{\prime}
$$

进而：

$$
f^{\prime \prime}(x) = 2 A + 2xA^{\prime} + 2x A^{\prime} + x^{2} A^{\prime \prime}
$$

当 $x = 0$ 时：

$$
f^{\prime \prime}(0) = 2 A + 0 + 0 + 0 \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime \prime}(0) = 2 (0+1)^{2} (0+2)^{2} (0+3)^{2} = 2 \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime \prime}(0) = 2 \cdot 1^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{2} = 72.
$$

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发布于深圳市福田区下沙村。