$y^{\prime \prime}$ $-$ $3 y^{\prime}$ $+$ $2 y$ $=$ $3x$ $-$ $2 e^{x}$ 特解的形式是多少？

一、题目

微分方程 $y^{\prime \prime}$ $-$ $3 y^{\prime}$ $+$ $2 y$ $=$ $3x$ $-$ $2 e^{x}$ 特解的形式是（ ）

难度评级：

二、解析

求解本题所需的基础知识：《用待定系数法求解非齐次线性方程特解时特解的假设方法》

本题中的微分方程可以分成两个，只需要各自写出其特解形式并相加即可：

$$
y^{\prime \prime} – 3 y^{\prime} + 2 y = 3x
$$

$$
y^{\prime \prime} – 3 y^{\prime} + 2 y = – 2 e^{x}
$$

Next

即：

$$
y^{\prime \prime} – 3 y^{\prime} + 2 y = (3x) \cdot e^{0x}
$$

$$
y^{\prime \prime} – 3 y^{\prime} + 2 y = (- 2) \cdot e^{x}
$$

Next

又有特征方程和特征值：

$$
\lambda^{2} – 3 \lambda + 2 = 0 \Rightarrow
$$

基于《十字相乘法》分解 $\Rightarrow$

$$
(\lambda – 2)(\lambda – 1) = 0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda_{1} = 2, \lambda_{2} = 1.
$$

Next

于是：

$$
y^{\prime \prime} – 3 y^{\prime} + 2 y = (3x) \cdot e^{0x} \Rightarrow
$$

特解 $\Rightarrow$

$$
y^{*}_{1} = (ax + b)x^{0} e^{0x} = ax + b
$$

Next

$$
y^{\prime \prime} – 3 y^{\prime} + 2 y = (- 2) \cdot e^{x} \Rightarrow
$$

特解 $\Rightarrow$

$$
y^{*}_{2} = c x^{1} e^{x} = cxe^{x}.
$$

Next

综上可知，微分方程 $y^{\prime \prime}$ $-$ $3 y^{\prime}$ $+$ $2 y$ $=$ $3x$ $-$ $2 e^{x}$ 特解的形式是：

$$ y^{*} = y^{*}_{1} + y^{*}_{2} = ax + b + cxe^{x}. $$

其中，$a$, $b$, $c$ 表示待定常数。

注意：这里的 $a$, $b$, $c$ 不是“任意常数”。

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