$y^{\prime \prime }$ $-$ $3y^{\prime }$ $+$ $2y$ $=$ $3x$ $-$ $2e^x$ 特解的形式是多少？

一、题目

微分方程 $y^{\prime \prime }$ $-$ $3y^{\prime }$ $+$ $2y$ $=$ $3x$ $-$ $2e^x$ 特解的形式是（ ）

难度评级：

二、解析

求解本题所需的基础知识：《用待定系数法求解非齐次线性方程特解时特解的假设方法》

本题中的微分方程可以分成两个，只需要各自写出其特解形式并相加即可：

$$y^{\prime \prime }–3y^{\prime }+2y=3x$$

$$y^{\prime \prime }–3y^{\prime }+2y=–2e^x$$

Next

即：

$$y^{\prime \prime }–3y^{\prime }+2y=(3x)\cdot e^{0x}$$

$$y^{\prime \prime }–3y^{\prime }+2y=(-2)\cdot e^x$$

Next

又有特征方程和特征值：

$${\lambda }^2–3\lambda +2=0\Rightarrow$$

基于《十字相乘法》分解 $\Rightarrow$

$$(\lambda –2)(\lambda –1)=0\Rightarrow$$

$${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=1.$$

Next

于是：

$$y^{\prime \prime }–3y^{\prime }+2y=(3x)\cdot e^{0x}\Rightarrow$$

特解 $\Rightarrow$

$$y_1^{\ast }=(ax+b)x^0{e}^{0x}=ax+b$$

Next

$$y^{\prime \prime }–3y^{\prime }+2y=(-2)\cdot e^x\Rightarrow$$

特解 $\Rightarrow$

$$y_2^{\ast }=c{x}^1{e}^x=cx{e}^x.$$

Next

综上可知，微分方程 $y^{\prime \prime }$ $-$ $3y^{\prime }$ $+$ $2y$ $=$ $3x$ $-$ $2e^x$ 特解的形式是：

$$y^{\ast }=y_1^{\ast }+y_2^{\ast }=ax+b+cx{e}^x.$$

其中，$a$, $b$, $c$ 表示待定常数。

注意：这里的 $a$, $b$, $c$ 不是“任意常数”。

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