只要整体替换,全都可以替换:已知 f(lnx) = ln(1+x)x, 求 f(x) dx

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 f(lnx) = ln(1+x)x, 则:

f(x)dx=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,根据“只要整体替换,全都可以替换”的原则,若令 t = lnx, 则 x = et, 进而:

f(lnx)=ln(1+x)x

f(t)=ln(1+et)et.

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又:

f(x)dxf(t)dt.

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因此:

f(t)=ln(1+et)et

f(t)dt=ln(1+et)etdt

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(et) = et = 1et 分部积分

(1)ln(1+et)d(et)=

(1)[etln(1+et)etdln(1+et)]=

(1)[etln(1+et)etet1+etdt]=

etet1+etdtetln(1+et)=

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11+etdtetln(1+et)=

1+etet1+etdtetln(1+et)=

1+et1+etdtet1+etdtetln(1+et)=

1dtet1+etdtetln(1+et)=

tln(1+et)etln(1+et)+C

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t = x

这里不能令 t = lnx, 因为, f(x) dx f(x) dx 是等价的关系,只是变量名称不同,因此,通过 f(x) dx 求解得出的结论,可以认为就是 f(x) dx 的结论,只需要更换一下变量名称即可。

f(x)dx=xln(1+ex)exln(1+ex)+C

f(x)dx=x(1+ex)ln(1+ex)+C

其中,C 为任意常数。


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