只要整体替换，全都可以替换：已知 $f(\ln x)$ $=$ $\frac{\ln(1+x)}{x}$, 求 $\int$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$

一、题目

已知 $f(\ln x)$ $=$ $\frac{\ln(1+x)}{x}$, 则：

$$
\int f(x) \mathrm{d} x = ?
$$

难度评级：

二、解析

首先，根据“只要整体替换，全都可以替换”的原则，若令 $t$ $=$ $\ln x$, 则 $x$ $=$ $e^{t}$, 进而：

$$
f(\ln x) = \frac{\ln(1+x)}{x} \Rightarrow
$$

$$
f(t) = \frac{\ln (1+e^{t})}{e^{t}}.
$$

Next

又：

$$
\int f(x) \mathrm{d} x \rightleftarrows \int f(t) \mathrm{d} t.
$$

Next

因此：

$$
f(t) = \frac{\ln (1+e^{t})}{e^{t}} \Rightarrow
$$

$$
\int f(t) \mathrm{d} t = \int \frac{\ln (1+e^{t})}{e^{t}} \mathrm{d} t \Rightarrow
$$

Next

$(e^{-t})^{\prime}$ $=$ $- e^{-t}$ $=$ $- \frac{1}{e^{t}}$ $\Rightarrow$ 分部积分 $\Rightarrow$

$$
(-1) \cdot \int \ln(1+e^{t}) \mathrm{d} (e^{-t}) =
$$

$$
(-1) \cdot \Big[ e^{-t} \ln (1+e^{t}) – \int e^{-t} \mathrm{d} \ln(1+e^{t}) \Big] =
$$

$$
(-1) \cdot \Big[ e^{-t} \ln (1+e^{t}) – \int e^{-t} \cdot \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} \mathrm{d} t \Big] =
$$

$$
\int e^{-t} \cdot \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} \mathrm{d} t – e^{-t} \ln (1+e^{t}) =
$$

Next

$$
\int \frac{1}{1 + e^{t}} \mathrm{d} t – e^{-t} \ln (1+e^{t}) =
$$

$$
\int \frac{1 + e^{t} – e^{t}}{1 + e^{t}} \mathrm{d} t – e^{-t} \ln (1+e^{t}) =
$$

$$
\int \frac{1 + e^{t}}{1 + e^{t}} \mathrm{d} t – \int \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} \mathrm{d} t – e^{-t} \ln (1+e^{t}) =
$$

$$
\int 1 \mathrm{d} t – \int \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} \mathrm{d} t – e^{-t} \ln (1+e^{t}) =
$$

$$
t – \ln(1+e^{t}) – e^{-t} \ln (1+e^{t}) + C \Rightarrow
$$

Next

令 $t$ $=$ $x$ $\Rightarrow$

这里不能令 $t$ $=$ $\ln x$, 因为，$\int$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 和 $\int$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 是等价的关系，只是变量名称不同，因此，通过 $\int$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 求解得出的结论，可以认为就是 $\int$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ 的结论，只需要更换一下变量名称即可。

$$
\int f(x) \mathrm{d} x = x – \ln(1+e^{x}) – e^{-x} \ln (1+e^{x}) + C \Rightarrow
$$

$$
\int f(x) \mathrm{d} x = x – (1+e^{-x})\ln(1+e^{x}) + C \Rightarrow
$$

其中，$C$ 为任意常数。

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