只要整体替换，全都可以替换：已知 $f(\ln x)$ $=$ $\frac{\ln (1+x)}{x}$, 求 $\int$ $f(x)$ $\mathrm{d}x$

一、题目

已知 $f(\ln x)$ $=$ $\frac{\ln (1+x)}{x}$, 则：

$$\int f(x)\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

首先，根据“只要整体替换，全都可以替换”的原则，若令 $t$ $=$ $\ln x$, 则 $x$ $=$ $e^t$, 进而：

$$f(\ln x)=\frac{\ln (1+x)}{x}\Rightarrow$$

$$f(t)=\frac{\ln (1+e^t)}{e^t}.$$

Next

又：

$$\int f(x)\mathrm{d}x\rightleftarrows \int f(t)\mathrm{d}t.$$

Next

因此：

$$f(t)=\frac{\ln (1+e^t)}{e^t}\Rightarrow$$

$$\int f(t)\mathrm{d}t=\int \frac{\ln (1+e^t)}{e^t}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

Next

$(e^{-t}{)}^{\prime }$ $=$ $-e^{-t}$ $=$ $-\frac{1}{e^t}$ $\Rightarrow$ 分部积分 $\Rightarrow$

$$(-1)\cdot \int \ln (1+e^t)\mathrm{d}(e^{-t})=$$

$$(-1)\cdot [e^{-t}\ln (1+e^t)–\int e^{-t}\mathrm{d}\ln (1+e^t)]=$$

$$(-1)\cdot [e^{-t}\ln (1+e^t)–\int e^{-t}\cdot \frac{e^t}{1+e^t}\mathrm{d}t]=$$

$$\int e^{-t}\cdot \frac{e^t}{1+e^t}\mathrm{d}t–e^{-t}\ln (1+e^t)=$$

Next

$$\int \frac{1}{1+e^t}\mathrm{d}t–e^{-t}\ln (1+e^t)=$$

$$\int \frac{1+e^t–e^t}{1+e^t}\mathrm{d}t–e^{-t}\ln (1+e^t)=$$

$$\int \frac{1+e^t}{1+e^t}\mathrm{d}t–\int \frac{e^t}{1+e^t}\mathrm{d}t–e^{-t}\ln (1+e^t)=$$

$$\int 1\mathrm{d}t–\int \frac{e^t}{1+e^t}\mathrm{d}t–e^{-t}\ln (1+e^t)=$$

$$t–\ln (1+e^t)–e^{-t}\ln (1+e^t)+C\Rightarrow$$

Next

令 $t$ $=$ $x$ $\Rightarrow$

这里不能令 $t$ $=$ $\ln x$, 因为，$\int$ $f(x)$ $\mathrm{d}x$ 和 $\int$ $f(x)$ $\mathrm{d}x$ 是等价的关系，只是变量名称不同，因此，通过 $\int$ $f(x)$ $\mathrm{d}x$ 求解得出的结论，可以认为就是 $\int$ $f(x)$ $\mathrm{d}x$ 的结论，只需要更换一下变量名称即可。

$$\int f(x)\mathrm{d}x=x–\ln (1+e^x)–e^{-x}\ln (1+e^x)+C\Rightarrow$$

$$\int f(x)\mathrm{d}x=x–(1+e^{-x})\ln (1+e^x)+C\Rightarrow$$

其中，$C$ 为任意常数。

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