巧用 $e^{x}$ 之两种方法解 $\int$ $\frac{1}{1+e^{x}}$ $\mathrm{d} x$

一、题目

$$
\int \frac{1}{1+e^{x}} \mathrm{d} x = ?
$$

难度评级：

二、解析

方法一

$$
\int \frac{1}{1+e^{x}} \mathrm{d} x =
$$

Next

$$
\int \frac{(1 + e^{x}) – e^{x}}{1+e^{x}} \mathrm{d} x =
$$

Next

$$
\int \frac{1 + e^{x}}{1+e^{x}} \mathrm{d} x – \int \frac{e^{x}}{1+e^{x}} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int 1 \mathrm{d} x – \int \frac{e^{x}}{1+e^{x}} \mathrm{d} x = x – \ln(1+e^{x}) + C.
$$

其中，$C$ 为任意常数。

由于必然存在 $1$ $+$ $e^{x}$ $>$ $0$, 因此，在上面的结论中，没必要写成 $\ln |1+e^{x}|$.

Next

方法二

$$
\int \frac{1}{1+e^{x}} \mathrm{d} x =
$$

Next

$$
\int \frac{e^{-x}}{e^{-x}(1+e^{x})} \mathrm{d} x =
$$

Next

$$
\int \frac{e^{-x}}{e^{-x} + 1} \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

由于 $[\ln(1+e^{-x})]^{\prime}$ $=$ $\frac{-e^{-x}}{1 + e^{-x}}$ $\Rightarrow$

$$
\int \frac{e^{-x}}{e^{-x} + 1} \mathrm{d} x = – \ln(1+e^{-x}) + C =
$$

$$
(-1) \cdot \ln (\frac{e^{x} + 1}{e^{x}}) + C =
$$

$$
(-1) \cdot [\ln(1+e^{x}) – \ln e^{x}] + C =
$$

$$
x – \ln(1+e^{x}) + C.
$$

其中，$C$ 为任意常数。

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