巧用 $e^x$ 之两种方法解 $\int$ $\frac{1}{1+e^x}$ $\mathrm{d}x$

一、题目

$$\int \frac{1}{1+e^x}\mathrm{d}x=?$$

难度评级：

二、解析

方法一

$$\int \frac{1}{1+e^x}\mathrm{d}x=$$

Next

$$\int \frac{(1+e^x)–e^x}{1+e^x}\mathrm{d}x=$$

Next

$$\int \frac{1+e^x}{1+e^x}\mathrm{d}x–\int \frac{e^x}{1+e^x}\mathrm{d}x=$$

$$\int 1\mathrm{d}x–\int \frac{e^x}{1+e^x}\mathrm{d}x=x–\ln (1+e^x)+C.$$

其中，$C$ 为任意常数。

由于必然存在 $1$ $+$ $e^x$ $>$ $0$, 因此，在上面的结论中，没必要写成 $\ln |1+e^x|$.

Next

方法二

$$\int \frac{1}{1+e^x}\mathrm{d}x=$$

Next

$$\int \frac{e^{-x}}{e^{-x}(1+e^x)}\mathrm{d}x=$$

Next

$$\int \frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}\mathrm{d}x\Rightarrow$$

由于 $[\ln (1+e^{-x}){]}^{\prime }$ $=$ $\frac{-e^{-x}}{1+e^{-x}}$ $\Rightarrow$

$$\int \frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}\mathrm{d}x=–\ln (1+e^{-x})+C=$$

$$(-1)\cdot \ln (\frac{e^x+1}{e^x})+C=$$

$$(-1)\cdot [\ln (1+e^x)–\ln e^x]+C=$$

$$x–\ln (1+e^x)+C.$$

其中，$C$ 为任意常数。

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