计算嵌套三角函数之:sinarctan

一、题目题目 - 荒原之梦

第 01 题:

sin(arctanx)=?

第 02 题:

sin(2arctanx)=?

难度评级:


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二、解析 解析 - 荒原之梦

第 01 题解析

arctanx = t, 则:

x=tant

x=sintcost

sint=xcost

sin2t=x2cos2t.

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又:

sin2t+cos2t=1

x2cos2t+cos2t=1

cos2t(1+x2)=1

cos2t=11+x2.

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由于 sin2t = x2 cos2t, 因此:

sin2t=x2cos2t=x211+x2

sin2t=x21+x2

sint=sin(arctanx)=±x21+x2.

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第 02 题解析

2arctanx = u, 则:

arctanx=12u

x=tan(12u)

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于是:

x=sin(12u)cos(12u)

sin(12u)=xcos(12u)

sin2(12u)=x2cos2(12u).

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进而:

sin2(12u)+cos2(12u)=1

x2cos2(12u)+cos2(12u)=1

cos2(12u)[1+x2]=1

cos2(12u)=11+x2

sin2(12u)=x21+x2

{sin(12u)=±x21+x2cos(12u)=±11+x2

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又:

sin(2arctanx)=sinu=2sin(12u)cos(12u)

sin(2arctanx)=2x21(1+x2)2

sin(2arctanx)=2x1+x2.

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综上可知:

sin(arctanx)=±x21+x2.

sin(2arctanx)=2x1+x2.


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