一个很“全”的题目：$\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $\sqrt{x} (\sqrt[x]{x} – 1)$

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \sqrt{x} (\sqrt[x]{x} – 1) = ?
$$

难度评级：

二、解析

这道题是一个很“全面”的题目，因为这一个题就把求解极限类题目时可能用到的 $e$ 抬起、等价无穷小代换、去根号和洛必达法则等都用上了。

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \sqrt{x} (\sqrt[x]{x} – 1) =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \sqrt{x} (x^{\frac{1}{x}} – 1) =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \sqrt{x} (e^{\frac{1}{x} \ln x} – 1).
$$

Next

由于：

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\ln x}{x} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{1}{x} = 0
$$

因此：

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \sqrt{x} (e^{\frac{1}{x} \ln x} – 1) =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \sqrt{x} \cdot \frac{\ln x}{x} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \Rightarrow
$$

Next

令 $t$ $=$ $\sqrt{x}$, $x$ $=$ $t^{2}$ $\Rightarrow$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\ln t^{2}}{t} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\frac{2t}{t^{2}}}{1} = \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{2t}{t^{2}} = \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{2}{t} = 0.
$$

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