一个看似不可能的等价无穷小代换的应用

一、题目

已知：

$$\alpha =\underset{x\to 0}{lim}[x^2–{\ln }^2(1+x)]$$

$$\beta =\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{\sqrt{1+x^3}}–e^{\sqrt{1-x^3}}}{e}$$

则，$\alpha$ 与 $\beta$ 之间是什么关系？

难度评级：

二、解析

本题看似无法使用等价无穷小代换，但是，只要做适当的变形处理，就可以用等价无穷小求解出本题。

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对 $\alpha$ 的求解过程如下：

$$\alpha =\underset{x\to 0}{lim}[x^2–{\ln }^2(1+x)]=$$

$$\alpha =\underset{x\to 0}{lim}[x+\ln (1+x)]\cdot [x–\ln (1+x)]=$$

$$\alpha =\underset{x\to 0}{lim}(x+x)\cdot \frac{1}{2}{x}^2=$$

$$\alpha =\underset{x\to 0}{lim}2x\cdot \frac{1}{2}{x}^2=x^3.$$

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对 $\beta$ 的求解过程如下：

$$\beta =\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{\sqrt{1+x^3}}–e^{\sqrt{1-x^3}}}{e}=$$

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当式子中没有可供直接使用的等价无穷小的时候，就要想办法构造出等价无穷小：

$$\beta =\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{\sqrt{1+x^3}}(1–e^{\sqrt{1-x^3}-\sqrt{1+x^3}})}{e}=$$

$$\beta =\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{\sqrt{1+x^3}}}{e}\cdot (1–e^{\sqrt{1-x^3}-\sqrt{1+x^3}})=$$

$$\beta =\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^1}{e}\cdot (\sqrt{1+x^3}–\sqrt{1-x^3})=$$

$$\beta =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{1+x^3}–\sqrt{1-x^3}}{1}=$$

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下面，对上式中的分子进行有理化操作：

$$\beta =\underset{x\to 0}{lim}\frac{(\sqrt{1+x^3}–\sqrt{1-x^3})(\sqrt{1+x^3}+\sqrt{1-x^3})}{\sqrt{1+x^3}+\sqrt{1-x^3}}=$$

$$\beta =\underset{x\to 0}{lim}\frac{(1+x^3–1+x^3)}{\sqrt{1+x^3}+\sqrt{1-x^3}}=$$

$$\beta =\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x^3}{2}=x^3.$$

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综上可知，$\alpha$ $=$ $x^3$, $\beta$ $=$ $x^3$, 因此：

$$\frac{\alpha }{\beta }=1.$$

即，$\alpha$ 与 $\beta$ 是等价无穷小的关系。

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