常用极限 $\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ $=$ $e$ 的一般推广形式

一、前言

在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）会提供一个与常用极限 $\lim_{x \rightarrow 0}$ $(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ $=$ $e$ 对应的一般推广形式——这种推广形式的应用范围更广。

二、正文

我们知道，对于 $1^{\infty}$ 型的极限，有以下两个常用的公式：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e
$$

Next

对上面的公式进行推广之后，我们可以得到如下应用范围更广的一个关于 $1^{\infty}$ 型极限的公式。

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若 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $\alpha(x)$ $=$ $0$, $\lim_{x \rightarrow \square}$ $\beta(x)$ $=$ $\infty$, 且 $\lim_{x \rightarrow \square}$ $\alpha(x) \beta(x)$ $=$ $A$, 则：

Next

$$
\lim_{x \rightarrow \square} \big[ 1 + \alpha(x) \big]^{\beta(x)} = e^{A}
$$

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