常用极限 $\underset{x\to 0}{lim}$ $(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$ $=$ $e$ 的一般推广形式

一、前言

在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）会提供一个与常用极限 $\underset{x\to 0}{lim}$ $(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$ $=$ $e$ 对应的一般推广形式——这种推广形式的应用范围更广。

二、正文

我们知道，对于 $1^{\mathrm{\infty }}$ 型的极限，有以下两个常用的公式：

$$\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$$

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对上面的公式进行推广之后，我们可以得到如下应用范围更广的一个关于 $1^{\mathrm{\infty }}$ 型极限的公式。

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若 $\underset{x\to ◻}{lim}$ $\alpha (x)$ $=$ $0$, $\underset{x\to ◻}{lim}$ $\beta (x)$ $=$ $\mathrm{\infty }$, 且 $\underset{x\to ◻}{lim}$ $\alpha (x)\beta (x)$ $=$ $A$, 则：

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$$\underset{x\to ◻}{lim}[1+\alpha (x){]}^{\beta (x)}=e^A$$

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