一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \Big[ \frac{1}{x} \Big] = ?
$$
其中,$\big[ \frac{1}{x} \big]$ 表示的是对 $\frac{1}{x}$ 进行取整的操作。
难度评级:
二、解析
在高等数学中,取证操作默认就是进行向下取整的操作,即去掉小数位,只保留整数部分。
由题知:
$$
\frac{1}{x} – 1 < \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \Big[ \frac{1}{x} \Big] \leqslant \frac{1}{x} \Rightarrow
$$
$$
x \Big(\frac{1}{x} – 1 \Big) < \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \Big[ \frac{1}{x} \Big] \leqslant \Big( x \cdot \frac{1}{x} \Big) \Rightarrow
$$
$$
1 – x < \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \Big[ \frac{1}{x} \Big] \leqslant 1 \Rightarrow
$$
$$
1 < \lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \Big[ \frac{1}{x} \Big] \leqslant 1.
$$
Next
综上,由夹逼准则可知:
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} x \Big[ \frac{1}{x} \Big] = 1.
$$
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