计算极限 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $($ $\frac{1}{n^2+1^2}$ $+$ $\frac{2}{n^2+2^2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{n}{n^2+n^2}$ $)$

一、题目

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2})=?$$

难度评级：

二、解析

本题可以利用定积分的定义解出。

当题目中的式子同时包含以下两个特征时，就可以尝试使用定积分的定义求解：

1. 该式子由无数个子项组成；
2. 不同子项间具有一定的关联规律；
3. 在子项中可以构造出 $\frac{1}{n}$ 这样的结构。

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解题过程如下：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2})\Rightarrow$$

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分子分母同除以 $n^2$ $\Rightarrow$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{\frac{1}{n^2}}{1+(\frac{1}{n}{)}^2}+\frac{\frac{2}{n^2}}{1+(\frac{2}{n}{)}^2}+\cdots +\frac{\frac{n}{n^2}}{1+(\frac{n}{n}{)}^2}]\Rightarrow$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n}}{1+(\frac{1}{n}{)}^2}+\frac{\frac{1}{n}\cdot \frac{2}{n}}{1+(\frac{2}{n}{)}^2}+\cdots +\frac{\frac{1}{n}\cdot \frac{n}{n}}{1+(\frac{n}{n}{)}^2}]\Rightarrow$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\cdot [\frac{\frac{1}{n}}{1+(\frac{1}{n}{)}^2}+\frac{\frac{2}{n}}{1+(\frac{2}{n}{)}^2}+\cdots +\frac{\frac{n}{n}}{1+(\frac{n}{n}{)}^2}]\mathrm{①}$$

$\mathrm{①}$ 式中的 $\frac{1}{n}$ 表名对应的积分区间的长度为 $1$, 并把这长度为 $1$ 的积分区间分成了 $n$ 等份。

$\mathrm{①}$ 式中的 $\frac{1}{n}$, $\frac{2}{n}$, $\cdots$, $\frac{n}{n}$ 就是被分成的第 $1$ 份，第 $2$ 份，……，第 $n$ 份。同时，由于 $\frac{1}{n}$ $\to$ $0$, $\frac{n}{n}$ $=$ $1$, 因此可知，积分区间就是 $(0,1)$.

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于是，根据定积分的定义，有：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\cdot [\frac{\frac{1}{n}}{1+(\frac{1}{n}{)}^2}+\frac{\frac{2}{n}}{1+(\frac{2}{n}{)}^2}+\cdots +\frac{\frac{n}{n}}{1+(\frac{n}{n}{)}^2}]\Rightarrow$$

$${\int }_0^1\frac{x}{1+x^2}\mathrm{d}x=$$

$$\frac{1}{2}\ln (1+x^2){|}_0^1=\frac{1}{2}\ln 2.$$

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