计算极限 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\big($ $\frac{1}{n^{2} + 1^{2}}$ $+$ $\frac{2}{n^{2} + 2^{2}}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{n}{n^{2} + n^{2}}$ $\big)$

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big( \frac{1}{n^{2} + 1^{2}} + \frac{2}{n^{2} + 2^{2}} + \cdots + \frac{n}{n^{2} + n^{2}} \Big) = ?
$$

难度评级：

二、解析

本题可以利用定积分的定义解出。

当题目中的式子同时包含以下两个特征时，就可以尝试使用定积分的定义求解：

1. 该式子由无数个子项组成；
2. 不同子项间具有一定的关联规律；
3. 在子项中可以构造出 $\frac{1}{n}$ 这样的结构。

Next

解题过程如下：

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Big( \frac{1}{n^{2} + 1^{2}} + \frac{2}{n^{2} + 2^{2}} + \cdots + \frac{n}{n^{2} + n^{2}} \Big) \Rightarrow
$$

Next

分子分母同除以 $n^{2}$ $\Rightarrow$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Bigg[ \frac{\frac{1}{n^{2}}}{1 + (\frac{1}{n})^{2}} + \frac{\frac{2}{n^{2}}}{1 + (\frac{2}{n})^{2}} + \cdots + \frac{\frac{n}{n^{2}}}{1 + (\frac{n}{n})^{2}} \Bigg] \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \Bigg[ \frac{\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}}{1 + (\frac{1}{n})^{2}} + \frac{\frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n}}{1 + (\frac{2}{n})^{2}} + \cdots + \frac{\frac{1}{n} \cdot \frac{n}{n}}{1 + (\frac{n}{n})^{2}} \Bigg] \Rightarrow
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \textcolor{orange}{\frac{1}{n}} \cdot \Bigg[ \frac{\textcolor{cyan}{\frac{1}{n}}}{1 + (\textcolor{cyan}{\frac{1}{n}})^{2}} + \frac{\textcolor{cyan}{\frac{2}{n}}}{1 + (\textcolor{cyan}{\frac{2}{n}})^{2}} + \cdots + \frac{\textcolor{cyan}{\frac{n}{n}}}{1 + (\textcolor{cyan}{\frac{n}{n}})^{2}} \Bigg] ①
$$

$①$ 式中的 $\textcolor{orange}{\frac{1}{n}}$ 表名对应的积分区间的长度为 $1$, 并把这长度为 $1$ 的积分区间分成了 $n$ 等份。

$①$ 式中的 $\textcolor{cyan}{\frac{1}{n}}$, $\textcolor{cyan}{\frac{2}{n}}$, $\cdots$, $\textcolor{cyan}{\frac{n}{n}}$ 就是被分成的第 $1$ 份，第 $2$ 份，……，第 $n$ 份。同时，由于 $\textcolor{cyan}{\frac{1}{n}}$ $\rightarrow$ $\textcolor{red}{0}$, $\textcolor{cyan}{\frac{n}{n}}$ $=$ $\textcolor{red}{1}$, 因此可知，积分区间就是 $\textcolor{red}{(0, 1)}$.

Next

于是，根据定积分的定义，有：

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \cdot \Bigg[ \frac{\frac{1}{n}}{1 + (\frac{1}{n})^{2}} + \frac{\frac{2}{n}}{1 + (\frac{2}{n})^{2}} + \cdots + \frac{\frac{n}{n}}{1 + (\frac{n}{n})^{2}} \Bigg] \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x^{2}} \mathrm{d} x =
$$

$$
\frac{1}{2} \ln (1 + x^{2}) \Big|_{0}^{1} = \frac{1}{2} \ln 2.
$$

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