一、题目
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \cdots + a_{m}^{n}} = ?
$$
其中 $a_{i}$ $>$ $0$ $($ $i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $m$ $)$.
难度评级:
二、解析
由题可知,$m$ 是一个有限大小的实数,因此,$\sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \cdots + a_{m}^{n}}$ 只包含有限个 $a_{i}$.
当 $n$ $\rightarrow$ $\infty$ 时,$a_{1}^{n}$, $a_{2}^{n}$, $\cdots$, $a_{m}^{n}$ 都可能趋于无穷大——但是,我们只需要考虑最大的那个无穷大就可以了,因为最大的无穷大会比其他所有的无穷大都“无穷大”。
Next
于是,设:
$$
\mathrm{max} \{a_{i}\} = a
$$
其中,$a$ 是一个实数。
Next
则:
$$
\sqrt[n]{a^{n}} \leqslant \sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \cdots + a_{m}^{n}} \leqslant \sqrt[n]{m \cdot a^{n}} \Rightarrow
$$
$$
a \leqslant \sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \cdots + a_{m}^{n}} \leqslant a \cdot m^{\frac{1}{n}} \Rightarrow
$$
$$
a \leqslant \sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \cdots + a_{m}^{n}} \leqslant a \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \cdots + a_{m}^{n}} = a.
$$
总结可知,一个包含无穷大的式子最终的值,取决于最大的那个无穷大。
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