计算极限 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\sqrt[n]{1+2^n+3^n}$

一、题目

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1+2^n+3^n}=?$$

本题可以使用夹逼准则解出，下文中会介绍使用夹逼准则时一个重要的放缩原则和思路。

难度评级：

二、解析

方法一

可以使用放缩夹逼的方式计算本题：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1+2^n+3^n}=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[\sqrt[n]{0+0+3^n}⩽\sqrt[n]{1+2^n+3^n}⩽\sqrt[n]{3^n+3^n+3^n}]\Rightarrow$$

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注意事项：在进行放缩的时候，最重要的就是控制放缩的“度”，如果放缩的范围过于宽泛，是无法使用夹逼准则的，例如，当 $x$ $\to$ $\mathrm{\infty }$ 时，$\sqrt[n]{1^n+1^n+1^n}$ $⩽$ $\sqrt[n]{1+2^n+3^n}$ 也是成立的，但并不能借此利用夹逼准则解出本题。

放缩的原则和思路：在放缩的时候，尽可能保留对整个式子的值影响比较大的部分（例如本题中的 $3^n$），这样有利于尽可能缩小放缩的范围，实现精准夹逼。

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$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[\sqrt[n]{3^n}⩽\sqrt[n]{1+2^n+3^n}⩽\sqrt[n]{3^{n+1}}]=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[3⩽\sqrt[n]{1+2^n+3^n}⩽3^{\frac{n+1}{n}}]=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[3⩽\sqrt[n]{1+2^n+3^n}⩽3^{\frac{n}{n}}]=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[3⩽\sqrt[n]{1+2^n+3^n}⩽3]=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1+2^n+3^n}=3.$$

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方法二

本题也可以通过构造出无穷小量并忽略无穷小量的方式计算：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1+2^n+3^n}=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1^n+2^n+3^n}=$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{3^n\cdot (\frac{1^n}{3^n}+\frac{2^n}{3^n}+\frac{3^n}{3^n})}=$$

$$3\cdot \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{(\frac{1}{3}{)}^n+(\frac{2}{3}{)}^n+1}=$$

$$3\cdot \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{0+0+1}=3.$$

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