变限积分被积函数中同时含有积分上下限该求导?

一、题目题目 - 荒原之梦

[xyf(x+yt)dt]x=?

[xyf(x+yt)dt]y=?

补充资料:
[1]. 多种形式的变限积分求导方法总结. 打开链接 - 荒原之梦

二、解析 解析 - 荒原之梦

对积分 xy f(x+yt) dt 进行分析可知:

  • 这是一个变限积分
  • 在进行积分运算前,需要将 dt 中的 t 视作变量,将积分上下限中的 xy 视作常数.
  • 由于被积函数 f 中同时包含被积变量 t 和被视作常数的 xy, 因此,需要使用代换法分离这两种量.

基于上述分析,可令:

u=x+yt

于是:

t=x+yu

dt=

d(x+yu)=du.

且由 t (x,y) 可知,进行代换之后产生的新的积分上下限为:

u=x+yt(y,x)

已知,t (x,y), 设 u (,), 则 = x + y x = y, = x + y y = x

于是:

xyf(x+yt)dt=

yxf(u)du=

xyf(u)du

进而,有:

x 求导时,把 y 当作常数处理。

[xyf(x+yt)dt]x=

[xyf(u)du]x=f(x)

y 求导时,把 x 当作常数处理。

[xyf(x+yt)dt]y=

[xyf(u)du]y=f(y)


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