变限积分被积函数中同时含有积分上下限该求导？

一、题目

$$[{\int }_x^{y}f(x+y–t)\mathrm{d}t{]}_x^{\prime }=?$$

$$[{\int }_x^{y}f(x+y–t)\mathrm{d}t{]}_y^{\prime }=?$$

补充资料：
[1]. 多种形式的变限积分求导方法总结.

二、解析

对积分 ${\int }_x^y$ $f(x+y–t)$ $\mathrm{d}t$ 进行分析可知：

• 这是一个变限积分
• 在进行积分运算前，需要将 $\mathrm{d}t$ 中的 $t$ 视作变量，将积分上下限中的 $x$ 和 $y$ 视作常数.
• 由于被积函数 $f$ 中同时包含被积变量 $t$ 和被视作常数的 $x$ 和 $y$, 因此，需要使用代换法分离这两种量.

基于上述分析，可令：

$$u=x+y–t$$

于是：

$$t=x+y–u\Rightarrow$$

$$\mathrm{d}t=$$

$$\mathrm{d}(x+y–u)=–\mathrm{d}u.$$

且由 $t$ $\in$ $(x,y)$ 可知，进行代换之后产生的新的积分上下限为：

$$u=x+y–t\in (y,x)$$

已知，$t$ $\in$ $(x,y)$, 设 $u$ $\in$ $(△,◯)$, 则 $△$ $=$ $x$ $+$ $y$ $-$ $x$ $=$ $y$, $◯$ $=$ $x$ $+$ $y$ $-$ $y$ $=$ $x$

于是：

$${\int }_x^{y}f(x+y–t)\mathrm{d}t=$$

$$-{\int }_y^{x}f(u)\mathrm{d}u=$$

$${\int }_x^{y}f(u)\mathrm{d}u$$

进而，有：

对 $x$ 求导时，把 $y$ 当作常数处理。

$$[{\int }_x^{y}f(x+y–t)\mathrm{d}t{]}_x^{\prime }=$$

$$[{\int }_x^{y}f(u)\mathrm{d}u{]}_x^{\prime }=-f(x)$$

对 $y$ 求导时，把 $x$ 当作常数处理。

$$[{\int }_x^{y}f(x+y–t)\mathrm{d}t{]}_y^{\prime }=$$

$$[{\int }_x^{y}f(u)\mathrm{d}u{]}_y^{\prime }=f(y)$$

---