变限积分被积函数中同时含有积分上下限该求导？

一、题目

$$
\Bigg[ \int_{x}^{y} f(x+y – t) \mathrm{d} t \Bigg]^{\prime}_{x} = ?
$$

$$
\Bigg[ \int_{x}^{y} f(x+y – t) \mathrm{d} t \Bigg]^{\prime}_{y} = ?
$$

补充资料：
[1]. 多种形式的变限积分求导方法总结.

二、解析

对积分 $\int_{x}^{y}$ $f(x+y – t)$ $\mathrm{d} t$ 进行分析可知：

• 这是一个变限积分
• 在进行积分运算前，需要将 $\mathrm{d} t$ 中的 $t$ 视作变量，将积分上下限中的 $x$ 和 $y$ 视作常数.
• 由于被积函数 $f$ 中同时包含被积变量 $t$ 和被视作常数的 $x$ 和 $y$, 因此，需要使用代换法分离这两种量.

基于上述分析，可令：

$$
u = x + y – t
$$

于是：

$$
t = x + y – u \Rightarrow
$$

$$
\mathrm{d} t =
$$

$$
\mathrm{d}(x + y – u) = – \mathrm{d} u.
$$

且由 $t$ $\in$ $(x, y)$ 可知，进行代换之后产生的新的积分上下限为：

$$
u = x + y – t \in (y, x)
$$

已知，$t$ $\in$ $(\textcolor{green}{x}, \textcolor{tan}{y})$, 设 $u$ $\in$ $(\bigtriangleup, \bigcirc)$, 则 $\bigtriangleup$ $=$ $x$ $+$ $y$ $-$ $\textcolor{green}{x}$ $=$ $y$, $\bigcirc$ $=$ $x$ $+$ $y$ $-$ $\textcolor{tan}{y}$ $=$ $x$

于是：

$$
\int_{\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{cyan}{y}} f(x+y – t) \mathrm{d} t =
$$

$$
\textcolor{red}{-} \int_{\textcolor{cyan}{y}}^{\textcolor{orange}{x}} f(u) \mathrm{d} u =
$$

$$
\int_{\textcolor{orange}{x}}^{\textcolor{cyan}{y}} f(u) \mathrm{d} u
$$

进而，有：

对 $x$ 求导时，把 $y$ 当作常数处理。

$$
\Bigg[ \textcolor{gray}{\int_{x}^{y} f(x+y – t) \mathrm{d} t} \Bigg]^{\textcolor{cyan}{\prime}}_{\textcolor{cyan}{x}} =
$$

$$
\Bigg[ \textcolor{gray}{\int_{x}^{y} f(u) \mathrm{d} u} \Bigg]^{\textcolor{cyan}{\prime}}_{\textcolor{cyan}{x}} = \textcolor{orange}{- f(x)}
$$

对 $y$ 求导时，把 $x$ 当作常数处理。

$$
\Bigg[ \textcolor{gray}{\int_{x}^{y} f(x+y – t) \mathrm{d} t} \Bigg]^{\textcolor{cyan}{\prime}}_{\textcolor{cyan}{y}} =
$$

$$
\Bigg[ \textcolor{gray}{\int_{x}^{y} f(u) \mathrm{d} u} \Bigg]^{\textcolor{cyan}{\prime}}_{\textcolor{cyan}{y}} = \textcolor{orange}{f(y)}
$$

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