$\sin [2\arcsin y]$ 等于多少？

一、题目

$\sin [2\arcsin y]$ $=$ $?$

二、解析

错误的解法：

$\sin (2\arcsin y)$ $\ne$ $2$ $\sin (\arcsin y)$.

即：

$\sin (2\arcsin y)$ $\ne$ $2$ $y$.

正确的解法：

$$\sin (2\arcsin y)=$$

$$2\sin (\arcsin y)\cdot \cos (\arcsin y)\Rightarrow$$

$$2y\cdot \cos (\arcsin y).$$

又由 《$\cos (\arcsin y)$ 等于多少？》这篇文章中的结论可知：

$$\cos (\arcsin y)=\sqrt{1–y^2}.$$

于是：

$$2y\cdot \cos (\arcsin y)=$$

$$2y\cdot \sqrt{1–y^2}.$$

即：

$$\sin (2\arcsin y)=$$

$$2y\cdot \sqrt{1–y^2}.$$

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