$\sin [2 \arcsin y]$ 等于多少？

一、题目

$\textcolor{orange}{\sin [2 \arcsin y]}$ $=$ $?$

二、解析

错误的解法：

$\sin (2 \arcsin y)$ $\textcolor{red}{\neq}$ $2$ $\sin (\arcsin y)$.

即：

$\sin (2 \arcsin y)$ $\textcolor{red}{\neq}$ $2$ $y$.

正确的解法：

$$
\sin (2 \arcsin y) =
$$

$$
2 \sin (\arcsin y) \cdot \cos (\arcsin y) \Rightarrow
$$

$$
2 y \cdot \cos (\arcsin y).
$$

又由 《$\cos (\arcsin y)$ 等于多少？》这篇文章中的结论可知：

$$
\cos (\arcsin y) = \sqrt{1 – y^{2}}.
$$

于是：

$$
2 y \cdot \cos (\arcsin y) =
$$

$$
2 y \cdot \sqrt{1 – y^{2}}.
$$

即：

$$
\textcolor{orange}{\sin (2 \arcsin y)} \textcolor{cyan}{=}
$$

$$
\textcolor{orange}{2 y \cdot \sqrt{1 – y^{2}}}.
$$

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