如何计算不定积分 $\int$ $\frac{1}{a^{2} + x^{2}}$ $\mathrm{d} x$

一、题目

已知 $a$ 为常数，计算如下定积分：

$\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} d x$

二、解析

$\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} d x =$

$\int \frac{1}{a^{2}} [\frac{1}{1 + (\frac{x}{a})^{2}}] d x .$

又：

$d (\frac{x}{a}) = \frac{1}{a} d x \Rightarrow$

$d x = a \cdot d (\frac{x}{a}) .$

于是：

$\int \frac{1}{a^{2}} \cdot a \cdot [\frac{1}{1 + (\frac{x}{a})^{2}}] d (\frac{x}{a}) =$

$\frac{1}{a} \int \frac{1}{1 + (\frac{x}{a})^{2}} d (\frac{x}{a}) =$

$\frac{1}{a} \arctan (\frac{x}{a}) + C .$

其中， $C$ 为任意常数。

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一、题目

二、解析

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