为什么 $\sqrt{1+x}$ $-$ $\sqrt{1-x}$ $\sim$ $x$ ?

已知，当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时：

$$
(1+x)^{a} – 1 \sim ax
$$

于是：

$$
\sqrt{1+x} – \sqrt{1-x} =
$$

$$
[(1+x)^{\frac{1}{2}} – 1] – [(1-x)^{\frac{1}{2}} – 1] \sim
$$

$$
\frac{1}{2} x – (- \frac{1}{2}x) =
$$

$$
\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x = x.
$$

综上有，当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时：

$$
\sqrt{1+x} – \sqrt{1-x} \sim x
$$

1998 年研究生入学考试数学二填空题第 1 题解析（三种方法）
对 $\int$ $f(\sqrt{x}) \frac{1}{\sqrt{x}}$ $\mathrm{d} x$ 凑微分的计算方法（B006）
2018年考研数二第15题解析：分部积分法、求导
2017年考研数二第15题解析：变限积分、洛必达法则、无穷小
2018年考研数二第19题解析：条件极值、拉格朗日乘数法
$\sqrt{1+x}$ $-$ $\sqrt{1-x}$ 的等价无穷小（B001）
为什么 $(\ln |x|)^{\prime}$ $=$ $\frac{1}{x}$ ?
2015年考研数二第19题解析：变限积分、零点、一阶导数
$\int$ $\frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）
$\int$ $\frac{1}{\sqrt{a^{2} – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）
向量的单位化（B008）
被积函数 $\sqrt{x^{2} – a^{2}}$ 的三角代换方法（B006）
$\int$ $\frac{1}{\sqrt{1 – x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 的积分公式（B006）
对 $\int$ $\frac{f(\arcsin x)}{\sqrt{1-x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 凑微分的计算方法（B006）
2017年考研数二第23题解析：二次型、标准型、特征值与特征向量
被积函数 $\sqrt{a^{2} + x^{2}}$ 的三角代换方法（B006）
反常积分 $\int_{-1}^{1}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 的计算方法
被积函数 $\sqrt{a^{2} – x^{2}}$ 的三角代换方法（B006）
反常积分 $\int_{0}^{\infty}$ $\frac{1}{(1 + x)\sqrt{x}}$ $\mathrm{d} x$ 的计算方法
2018年考研数二第02题解析
$\sqrt[b]{1+ax}$ $-$ $1$ 的等价无穷小（B001）
2015年考研数二第18题解析：二重积分、二重积分的化简、三角函数代换、华里士点火公式
极限 $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}$ 的值是多少？（B001）
极限 $\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}$ 的值是多少？（B001）
2016年考研数二第07题解析

相关文章：