直线与平面呈夹角 $\theta$ 时的性质（B009）

问题

若直线 $L$ 的表达式为 $\frac{x-x_0}{l}$ $=$ $\frac{y-y_0}{m}$ $=$ $\frac{z-z_0}{n}$, 平面 $\pi$ 的表达式为 $Ax$ $+$ $By$ $+$ $Cz$ $+$ $D$ $=$ $0$. 此外，直线 $L$ 的方向向量为 $\overrightarrow{s}$ $=$ $(l,m,n)$, 平面 $\pi$ 的法向量为 $\overrightarrow{n}$ $=$ $(A,B,C)$.

那么，若 $L$ 与 $\pi$ 之间的夹角为 $\theta$, 且 $(0⩽\theta ⩽\frac{\pi }{2})$, 则 $\sin \theta$ $=$ $?$

选项

[A].   $\cos \theta$ $=$ $\frac{|Al+Bm+Cn|}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}\times \sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

[B].   $\sin \theta$ $=$ $\frac{|Al+Bm+Cn|}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}\times \sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

[C].   $\sin \theta$ $=$ $\frac{|Al+Bm+Cn|}{(l^2+m^2+n^2)\times (A^2+B^2+C^2)}$

[D].   $\sin \theta$ $=$ $\frac{Al+Bm+Cn}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}\times \sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

   答 案   

$\sin \theta$ $=$ $\frac{|\overrightarrow{s}\cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{s}||\overrightarrow{n}|}$ $=$ $\frac{|Al+Bm+Cn|}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}\times \sqrt{A^2+B^2+C^2}}$