反常积分 11 1x23 dx 的计算方法

一、题目分析

因为对于 x23 而言,必须有 x 0, 于是,在区间 [1,1] 内,定积分 11 1x23 dx 其实是一个瑕积分,瑕点就是 x = 0, 由于在真正进行积分运算的时候,被积函数不能包含瑕点,所以,我们必须在 x = 0 处对原积分进行“分割”。

二、示意图像

函数 y = 1x23 的示意图像如下:

反常积分 $\int_{-1}^{1}$ $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ $\mathrm{d} x$ 的计算方法 | 荒原之梦
图 01.

三、计算过程

111x23dx


令:

{s0;t0+.


lims01s1x23dx+

limt0+t11x23dx=


lims01s1x23dx+

limt0+t11x23dx=


lims01sx23dx+

limt0+t1x23dx=


3lims0x13|1s+

3limt0+x13|t1=


3(0+1)+3(10)=


3+3=


6.


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