标签： 向量组的线性相关性

问题

已知，有两个向量 ${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_2$ 是 线 性 相 关 的，则在 几 何 意 义 上，这两个向量是否 共 线 ？

选项

[A].   是

[B].   不确定

[C].   不是

   答 案   

是

${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_2$ 线性 相 关 $\iff$ ${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_2$ 共 线

问题

已知，有两个向量 ${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_2$ 是 线 性 相 关 的，则这两个向量 对 应 的 分 量 是否 成 比 例 ？

选项

[A].   不确定

[B].   不是

[C].   是

   答 案   

是

${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_2$ 线性 相 关 $\iff$ 对应的分量 成 比 例

问题

根据向量线性相关性的定义， 非 零 向 量 $(1,1,0)$ 或者 $(1,2,3{)}^{\mathrm{\top }}$ 是否是 线 性 相 关 的？

选项

[A].   是

[B].   不是

[C].   不确定

   答 案   

不 是 。

由定义可知， 单 个 非 零 向 量 是 线 性 无 关 的。

问题

根据向量线性相关性的定义， 零 向 量 $(0,0,0)$ 或者 $(0,0,0{)}^{\mathrm{\top }}$ 是否是 线 性 无 关 的？

选项

[A].   不确定

[B].   是

[C].   不是

   答 案   

不 是 。

由定义可知， 单 个 零 向 量 是 线 性 相 关 的。

问题

已知，存在定向量组 $\mathit{A}:$ ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2$, $\cdots$, ${\mathit{\alpha }}_{\mathit{m}}$, 以及实数 $k_1$, $k_2$, $\cdots$, $k_m$.

且有如下等式：
$k_1{\mathit{\alpha }}_1$ $+$ $k_2{\mathit{\alpha }}_2$ $+$ $\cdots$ $+$ $k_m{\mathit{\alpha }}_m$ $=$ $\mathbf{0}$.

那么，当实数 $k_1$, $k_2$, $\cdots$, $k_m$ 满足 什 么 条 件 时，可以说明向量组 $\mathit{A}:$ ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2$, $\cdots$, ${\mathit{\alpha }}_m$ 是 线 性 无 关 的？

选项

[A].   $k_1$, $k_2$, $\cdots$, $k_m$ 全部大于或等于 $0$

[B].   $k_1$, $k_2$, $\cdots$, $k_m$ 不全为负数

[C].   $k_1$, $k_2$, $\cdots$, $k_m$ 不全为 $0$

[D].   $k_1$, $k_2$, $\cdots$, $k_m$ 全为 $0$

   答 案   

$k_1$, $k_2$, $\cdots$, $k_m$ 全 为 $0$

问题

已知，存在定向量组 $\mathit{A}:$ ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2$, $\cdots$, ${\mathit{\alpha }}_{\mathit{m}}$, 以及实数 $k_1$, $k_2$, $\cdots$, $k_m$.

且有如下等式：
$k_1{\mathit{\alpha }}_1$ $+$ $k_2{\mathit{\alpha }}_2$ $+$ $\cdots$ $+$ $k_m{\mathit{\alpha }}_m$ $=$ $\mathbf{0}$.

那么，当实数 $k_1$, $k_2$, $\cdots$, $k_m$ 满足 什 么 条 件 时，可以说明向量组 $\mathit{A}:$ ${\mathit{\alpha }}_1$, ${\mathit{\alpha }}_2$, $\cdots$, ${\mathit{\alpha }}_m$ 是 线 性 相 关 的？

选项

[A].   $k_1$, $k_2$, $\cdots$, $k_m$ 全为 $0$

[B].   $k_1$, $k_2$, $\cdots$, $k_m$ 不全为 $0$

[C].   $k_1$, $k_2$, $\cdots$, $k_m$ 全部大于或等于 $0$

[D].   $k_1$, $k_2$, $\cdots$, $k_m$ 不全为负数

   答 案   

$k_1$, $k_2$, $\cdots$, $k_m$ 不 全 为 $0$