标签： 向量组的线性相关性

问题

已知，有两个向量 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$ 和 $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$ 是 线 性 相 关 的，则在 几 何 意 义 上，这两个向量是否 共 线 ？

选项

[A].   不确定

[B].   不是

[C].   是

   答 案   

是

$\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$ 和 $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$ 线性 相 关 $\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$ $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$ 和 $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$ 共 线

问题

已知，有两个向量 $\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$ 和 $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$ 是 线 性 相 关 的，则这两个向量 对 应 的 分 量 是否 成 比 例 ？

选项

[A].   不是

[B].   是

[C].   不确定

   答 案   

是

$\textcolor{orange}{\alpha_{1}}$ 和 $\textcolor{orange}{\alpha_{2}}$ 线性 相 关 $\textcolor{red}{\Leftrightarrow}$ 对应的分量 成 比 例

问题

根据向量线性相关性的定义， 非 零 向 量 $(1, 1, 0)$ 或者 $(1, 2, 3)^{\top}$ 是否是 线 性 相 关 的？

选项

[A].   不确定

[B].   是

[C].   不是

   答 案   

不 是 。

由定义可知， 单 个 非 零 向 量 是 线 性 无 关 的。

问题

根据向量线性相关性的定义， 零 向 量 $(0, 0, 0)$ 或者 $(0, 0, 0)^{\top}$ 是否是 线 性 无 关 的？

选项

[A].   不确定

[B].   是

[C].   不是

   答 案   

不 是 。

由定义可知， 单 个 零 向 量 是 线 性 相 关 的。

问题

已知，存在定向量组 $\boldsymbol{A}:$ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{m}}$, 以及实数 $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$.

且有如下等式：
$\textcolor{orange}{k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{\cdots}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{k_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{\mathbf{0}}$.

那么，当实数 $\textcolor{cyan}{k_{1}}$, $\textcolor{cyan}{k_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{k_{m}}$ 满足 什 么 条 件 时，可以说明向量组 $\boldsymbol{A}:$ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 是 线 性 无 关 的？

选项

[A].   $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 全部大于或等于 $0$

[B].   $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 不全为负数

[C].   $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 不全为 $0$

[D].   $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 全为 $0$

   答 案   

$\textcolor{cyan}{k_{1}}$, $\textcolor{cyan}{k_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{k_{m}}$ 全 为 $\textcolor{yellow}{0}$

问题

已知，存在定向量组 $\boldsymbol{A}:$ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{\boldsymbol{m}}$, 以及实数 $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$.

且有如下等式：
$\textcolor{orange}{k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{\cdots}$ $\textcolor{orange}{+}$ $\textcolor{orange}{k_{m} \boldsymbol{\alpha}_{m}}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{\mathbf{0}}$.

那么，当实数 $\textcolor{cyan}{k_{1}}$, $\textcolor{cyan}{k_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{k_{m}}$ 满足 什 么 条 件 时，可以说明向量组 $\boldsymbol{A}:$ $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{m}$ 是 线 性 相 关 的？

选项

[A].   $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 不全为负数

[B].   $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 全为 $0$

[C].   $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 不全为 $0$

[D].   $k_{1}$, $k_{2}$, $\cdots$, $k_{m}$ 全部大于或等于 $0$

   答 案   

$\textcolor{cyan}{k_{1}}$, $\textcolor{cyan}{k_{2}}$, $\textcolor{cyan}{\cdots}$, $\textcolor{cyan}{k_{m}}$ 不 全 为 $\textcolor{yellow}{0}$