标签： 考研数二真题

一、题目

设函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[0,1\right]$ 上连续，则 $\int_{0}^{1} f\left(x\right) \mathrm{~d}x = ?$

»A« $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2k-1}{2n}\right) \cdot \frac{1}{2n}$

»B« $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{2k-1}{2n}\right) \cdot \frac{1}{n}$

»C« $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} f\left(\frac{k-1}{2n}\right) \cdot \frac{1}{n}$

»D« $\lim_{x \to \infty} \sum_{k=1}^{2n} f\left(\frac{k}{2n}\right) \cdot \frac{2}{n}$

难度评级：

一、题目

设函数 $f\left(x, y\right)$ 可微，且 $f\left(x + 1, \mathrm{e}^{x}\right) = x \left(x + 1\right)^{2}$, $f\left(x, x^{2}\right) = 2 x^{2} \ln x$, 则 $\mathrm{d} f\left(1, 1\right) =$

»A« $\mathrm{d} x + \mathrm{d} y$

»B« $\mathrm{d} x – \mathrm{d} y$

»C« $\mathrm{d} y$

»D« $-\mathrm{d} y$

难度评级：

一、题目

设函数 $f \left( x \right) = \sec x$ 在 $x = 0$ 处的 2 次泰勒多项式为 $1 + a x + b x^{2}$, 则（ ）

»A« $a = 1, b = – \frac{1}{2}$

»B« $a = 1, b = \frac{1}{2}$

»C« $a = 0, b = – \frac{1}{2}$

»D« $a = 0, b = \frac{1}{2}$

难度评级：

一、题目

设函数 $f\left(x\right) = a x-b \ln x \left(a>0\right)$ 有两个零点，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围是（ ）

»A« $\left(\mathrm{e}, +\infty \right)$

»B« $\left(0, \mathrm{e} \right)$

»C« $\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}} \right)$

»D« $\left(\frac{1}{\mathrm{e}}, + \infty \right)$

难度评级：

一、题目

有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 $2 \mathrm{cm}/\mathrm{s}$, $-3 \mathrm{cm}/\mathrm{s}$. 当底面半径为 $10 \mathrm{cm}$, 高为 $5 \mathrm{cm}$ 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（ ）

»A« $125 \pi \ \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{s}$, $40\pi \ \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}$.

»B« $125 \pi \ \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{s}$, $-40\pi \ \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}$.

»C« $-100 \pi \ \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{s}$, $40\pi \ \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}$.

»D« $-100 \pi \ \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{s}$, $-40\pi \ \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}$.

难度评级：

一、题目

$f \left( x \right) = \begin{cases}
\dfrac{\mathrm{e}^{x} – 1}{x}, \ x \neq 0 \\
1, \ x = 0
\end{cases}$ 在 $x = 0$ 处（ ）

»A« 连续且取得极大值

»B« 连续且取得极小值

»C« 可导且导数为 $0$

»D« 可导且导数不为 $0$

难度评级：

二、解析

判断一点处的连续性

由于：

$$
\lim_{x \to 0} f \left( x \right) = \lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{e}^{x} – 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1 = f \left( 0 \right)
$$

所以，函数 $f \left( x \right)$ 在 $x = 0$ 处连续.

求解一点处的导数

由题可知：

$$
\begin{aligned}
f^{\prime} \left( 0 \right) & = \lim_{x \to 0} \dfrac{f \left( x \right) – f \left( 0 \right)}{x} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{\mathrm{e}^{x} – 1}{x} – 1}{x} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{e}^{x} – 1 – x}{x^{2}} \\ \\
& \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \textcolor{gray}{\text{洛必达运算}} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{e}^{x} – 1}{2 x} \\ \\
& = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{2 x} \\ \\
& = \dfrac{1}{2} \neq 0
\end{aligned}
$$

综上可知，本 题 应 选 D

三、相关知识点

[1]. 常用的等价无穷小公式

一、题目

$\left( 1 \right)$ 当 $x \to 0$ 时，$\int_{0}^{x^{2}} \left( \mathrm{e}^{t^{3}} – 1 \right) \mathrm{~d}t$ 是 $x^{7}$ 的（ ）

»A« 低阶无穷小.

»B« 等价无穷小.

»C« 高阶无穷小.

»D« 同阶但非等价无穷小.

难度评级：

一、题目

设函数 $f\left( x \right)$ 在区间 $\left( a, b \right)$ 可导，证明：导函数 $f^{\prime}\left( x \right)$ 在 $\left( a, b \right)$ 内严格单调增加的充分必要条件是：

对 $\left( a,b \right)$ 内任一点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$，当 $x_{1}<x_{2}<x_{3}$ 时，有：

$$
\frac{f\left( x_{2} \right)-f\left( x_{1} \right)}{x_{2}-x_{1}}<\frac{f\left( x_{3} \right)-f\left( x_{2} \right)}{x_{3}-x_{2}}
$$

难度评级：

一、题目

已知平面有界区域 $D=\left\{ \left( x,y \right) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4x, x^{2}+y^{2} \leqslant 4y \right\}$, 计算 $\iint_{D} \left( x-y \right)^{2}\mathrm{~d}x \mathrm{d}y$.

一、题目

设函数 $f \left( x,y \right)$ 可微且满足 $\mathrm{d}f \left( x,y \right) = – 2x \mathrm{e}^{{-y}} \mathrm{d}x + \mathrm{e}^{{-y}} \left( x^{{2}} – y – 1 \right) \mathrm{d}y$, $f \left( 0,0 \right) = 2$, 求 $f \left( x,y \right)$, 并求 $f \left( x,y \right)$ 的极值.

难度评级：

一、题目

设函数 $f\left( x \right)$ 在 $x = 0$ 处连续，且 $\lim_{{x \to 0}} \frac{x f\left( x \right)-\mathrm{e}^{2 \sin x}+1}{\ln \left( 1+x \right)+\ln \left( 1-x \right)}=-3$，证明：$f\left( x \right)$ 在 $x = 0$ 处可导，并求 $f^{\prime}\left( 0 \right)$.

难度评级：

一、题目

计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\left( x+1 \right)\left( x^{2}-2x+2 \right)} \mathrm{~d}x$.

二、解析

以下两种解法都用到了基于待定系数法的分式分解.

解法 1：先做代换，再做因式分解

$$
\begin{aligned}
& \ \int_{0}^{1} \frac{1}{\left( x+1 \right)\left( x^{2}-2x+2 \right)} \mathrm{~d}x \\ \\
= & \ \int_{0}^{1} \frac{1}{\left( x+1 \right)\left[ \left( x-1 \right)^{2}+1 \right]} \mathrm{~d}x \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{gray}{t=x-1} \\ \\
= & \ \int_{-1}^{0} \frac{1}{\left( t+2 \right)\left( t^{2}+1 \right)} \mathrm{~d}t \\ \\
= & \ \int_{-1}^{0} \left( \frac{A}{t+2} + \frac{Bt + C}{t^{2} + 1} \right) \mathrm{~d} t \\ \\
= & \ \int_{-1}^{0} \frac{\left( A+B \right)t^{2} + \left( 2B + C \right) t + A + 2C}{\left( t+2 \right)\left( t^{2}+1 \right)} \mathrm{~d} t \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{gray}{\begin{cases}
A + B = 0 \\
2B + C = 0 \\
A + 2C = 1
\end{cases} \leadsto \begin{cases}
A = 1 \\
B = -1 \\
C = 2
\end{cases}} \\ \\
= & \ \frac{1}{5} \int_{-1}^{0}\left( \frac{1}{t+2}+\frac{-t+2}{t^{2}+1} \right) \mathrm{~d}t \\ \\
= & \ \left.\frac{1}{5}\left[ \ln \left( t+2 \right)-\frac{1}{2}\ln \left( t^{2}+1 \right)+2\arctan x \right] \right|_{-1}^{0} \\ \\
= & \ \frac{1}{5} \left[ \ln 2-\left( -\frac{1}{2}\ln 2-\frac{\pi}{2} \right) \right] \\ \\
= & \ \frac{1}{5}\left( \frac{3}{2}\ln 2+\frac{\pi}{2} \right)
\end{aligned}
$$

解法 2：只做因式分解

$$
\begin{aligned}
& \ \int_{0}^{1}\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x^{2}-2x+2\right)} \mathrm{~d}x \\ \\
= & \ \int_{0}^{1}\left(\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}-2x+2}\right) \mathrm{~d}x \\ \\
= & \ \int_{0}^{1} \left( \frac{\left( A+B \right)x^{2} + \left( -2 A + B + C \right) x + 2A + C}{\left( 1+x \right) \left( x^{2} – 2x + 2 \right)} \right) \mathrm{~d} x \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{gray}{\begin{cases}
A+B=0 \\
-2A+B+C=0 \\
2A+C=1
\end{cases} \leadsto \begin{cases}
A = \frac{1}{5} \\
B = \frac{-1}{5} \\
C = \frac{3}{5}
\end{cases} } \\ \\
= & \ \int_{0}^{1}\left(\frac{\frac{1}{5}}{x+1}+\frac{-\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}}{x^{2}-2x+2}\right) \mathrm{~d}x \\ \\
= & \ \left.\frac{1}{5}\ln\left|1+x\right|\right|_{0}^{1} – \left.\frac{1}{10}\ln\left|x^{2}-2x+2\right|\right|_{0}^{1} + \left.\frac{2}{5}\arctan\left(x-1\right)\right|_{0}^{1} \\ \\
= & \ \frac{3}{10}\ln 2 + \frac{1}{10}\pi
\end{aligned}
$$

一、题目

微分方程 $\left( 2y-3x \right)\mathrm{d} x + \left( 2x-5y \right) \mathrm{d} y = 0$ 满足条件 $y \left( 1 \right) = 1$ 的解为 $\underline{\qquad}$.

难度评级：