高等数学练习题 – 第 6 页

一、题目

已知 $f(x)$ 为连续函数，且 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{ -f(t) } \mathrm{~d} t$, 则当 $n$ $\geqslant$ $2$ 时：

$$
f^{(n)}(0) = ?
$$

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一、题目

已知，函数 $f (x)$ 连续，且：

$$
\lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ \ln( 1+2x ) + x f(x)} {x^{2}} = 3
$$

则：

$$
\lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ 2+f(x) }{x} = ?
$$

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一、题目

已知 $0$ $\leqslant$ $\theta$ $\leqslant$ $3 \pi$, 且：

$$
r(\theta) = \left( \sin \frac{\theta}{3} \right) ^{3}
$$

则曲线 $r(\theta)$ 的弧长是多少？

有时候，曲线 $r(\theta)$ 的极坐标方程也写作：$r(\theta)$ $=$ $\sin ^{3} \frac{\theta}{3}$.

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一、题目

已知 $c > 0$ 为常数，且：

$$
f(x) = \int_{c ^{2}}^{x ^{2}} \frac{\sin k}{k} \mathrm{~d} k
$$

则：

$$
I = \int_{0}^{c} x f(x) \mathrm{~d} x
$$

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一、题目

已知 $y ^{\prime} (x)$ $=$ $\arctan (1 – x)^{2}$, $y(0)$ $=$ $1$, 则：

$$
I = \int_{0}^{1} y(x) \mathrm{~d} x = ?
$$

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一、题目

$$
\begin{aligned}
& I = \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } \left[ \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} + x + 1 } – \frac{ \ln \left( \mathrm{e}^{x} + x \right) }{x} \times \sqrt{x^{2} + x + 1 } \right] \\ \\
& = ?
\end{aligned}
$$

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这道题你去几次根号可以解出来？

一、题目

$$
\begin{aligned}
I = \\ \\
& \int \frac{\ln x}{\sqrt{x ^{3} (1-x)}} \mathrm{~d} x \\ \\
& = ?
\end{aligned}
$$

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在计算的时候尽可能将除法转换为乘法：乘法比除法更方便计算

一、题目

已知，当 $x \rightarrow 0$ 时，$\frac{\cos x – 1}{1 – \sin x}$ $=$ $a x$ $+$ $b x ^{2}$ $+$ $c x ^{3}$ $+$ $o(x ^{3})$, 则：

$$
\begin{cases}
a = ? \\
b = ? \\
c = ?
\end{cases}
$$

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矩阵乘法的次幂是不能放到括号里面的：即便他们相乘得单位矩阵

一、题目

已知，$\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶方阵，且：

$$
(\boldsymbol{AB}) ^{2} = \boldsymbol{E}
$$

则下列结论中，一定正确为（）

① $\boldsymbol{BAB}$ $=$ $\boldsymbol{A}^{-1}$

② $\boldsymbol{ABA}$ $=$ $\boldsymbol{B}^{-1}$

③ $(\boldsymbol{BA}) ^{2}$ $=$ $\boldsymbol{E}$

④ $\boldsymbol{A} ^{2} \boldsymbol{B} ^{2}$ $=$ $\boldsymbol{E}$

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积分式子中相似的部分越多越容易计算，但有时候需要我们拨开“云雾”

一、题目

$$
\begin{aligned}
I & = \\ \\
& \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{e ^{x+3} + e ^{5-x}} \mathrm{~d} x \\ \\
& = ?
\end{aligned}
$$

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这道题为啥要设 t=3x 而不是 t=2x ?

一、题目

若 $f(x)$ $+$ $\sin ^{6} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} f(3x) \mathrm{~d} x$, 则：

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{~d} x = ?
$$

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积分一定能改变函数的奇偶性吗？

一、题目

已知 $f ( x )$ 是连续函数， $F ( x )$ 是 $f ( x )$ 的原函数，则以下说法中正确的是哪个？

[A]. 若 $f ( x )$ 是偶函数，则 $F ( x )$ 必是奇函数

[B]. 若 $f ( x )$ 是奇函数，则 $F ( x )$ 必是偶函数

[C]. 若 $f ( x )$ 是周期函数，则$F ( x )$ 必是周期函数

[D]. 若 $f ( x )$ 是单调增函数，则 $F ( x )$ 必是单调增函数

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有界一定不发散，但有界不一定收敛

一、题目

设数列 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 与 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 满足 $\lim _{ n \rightarrow \infty } \left\{ x _{ n } y _{ n } \right\}$ $=$ $0$, 则下列说法正确的是哪个？

(A) 若 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 发散，则 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 必发散

(B) 若 $\frac{1}{x _{ n }}$ 为无穷小量，则 $y _{ n }$ 必为无穷小量

(D) 若 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 无界，则 $\left\{ y _{ n } \right\}$ 必有界

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