一、题目
$$
I = \int_{0}^{ \frac{\pi}{2}} \ln ( \sin x ) \mathrm{~d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“明修栈道，暗度陈仓：化简对数函数先凑乘法”标签： 高等数学练习题
利用导数的定义求解式子的极限
一、题目
请求解下面式子的极限：
$$
\begin{aligned}
K_{1} & = \lim_{ x \rightarrow a } \frac{ a^{x} – x^{a}}{x-a} \\ \\
K_{2} & = \lim_{ x \rightarrow a } \frac{ x^{x} – a^{a} }{x-a} \\ \\
K_{3} & = \lim_{x \rightarrow a } \frac{\tan x – \tan a}{ x^{a} – a^{a} }
\end{aligned}
$$
难度评级：
继续阅读“利用导数的定义求解式子的极限”给对数函数的变量“摘指数”的时候要注意指数的“作用范围”
求三角函数的 $n$ 阶导：先降幂
一、题目
已知 $y(x)$ $=$ $\sin^{3} x$ $+$ $\sin x \cos x$, 则：
$$
y^{(n)} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“求三角函数的 $n$ 阶导：先降幂”平方运算不会改变大于或等于 $0$ 的数字间的大小关系
一、题目
请证明下面这个数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 的极限存在，并求解其极限：
$$
\sqrt{2}, \quad \sqrt{2+\sqrt{2}}, \quad \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}, \quad \cdots
$$
难度评级：
继续阅读“平方运算不会改变大于或等于 $0$ 的数字间的大小关系”升级版的点火公式
对式子的等价转换除了有先加后减，还有先开方再平方
一、题目
$$
I = \int_{2}^{+ \infty} \frac{1}{x \sqrt{x-1}} \mathrm{~d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“对式子的等价转换除了有先加后减，还有先开方再平方”拨开云雾，直抵核心：不要被这个积分中的三个 “$\ln$” 函数迷惑了
一、题目
$$
I = \int \frac{1}{x \ln x \ln \ln x} \mathrm{~d} x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“拨开云雾，直抵核心：不要被这个积分中的三个 “$\ln$” 函数迷惑了”用定积分的定义证明两个定积分的常用性质
一、题目
请证明下面的定积分的性质：
$$
\begin{aligned}
\int_{a}^{b} 1 \mathrm{~d} x = & \ b – a \\
\int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{~d} x = & \ k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$
难度评级：
继续阅读“用定积分的定义证明两个定积分的常用性质”利用定积分的定义计算两个简单的定积分
一、题目
定积分的定义是考研数学中经常考察的一个内容。但是，在真正的考试题中，我们能遇到的要使用定积分的定义求解的题目，一般是不能用一般的积分公式计算的，这样的题目不利于我们从更多的角度把握用定积分的定义解题这一方法的全貌。
所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」将利用定积分的定义，给同学们演示对下面这两个比较简单的定积分进行求解的过程：
$$
\begin{aligned}
I_{1} = & \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x \\ \\
I_{2} = & \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$
难度评级：
继续阅读“利用定积分的定义计算两个简单的定积分”级数 $\lim_{n \to \infty}$ $\sum_{n = 1}^{n}$ $\mathrm{e}^{\frac{i}{n}}$ 求和怎么计算？
一、题目
$$
I = \lim_{n \to \infty} \sum_{n = 1}^{n} \mathrm{e}^{\frac{i}{n}} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“级数 $\lim_{n \to \infty}$ $\sum_{n = 1}^{n}$ $\mathrm{e}^{\frac{i}{n}}$ 求和怎么计算？”遇到比较绕的题目，最好的办法就是先将其翻译成纯粹的数学语言
一、题目
已知 $f(x)$ 的一个原函数为 $\frac{\cos x}{x}$, 则：
$$
I = \int x f ^{\prime} (x) \mathrm{~d} x
$$
难度评级：
继续阅读“遇到比较绕的题目，最好的办法就是先将其翻译成纯粹的数学语言”收敛的数项级数的项会越来越小，但项越来越小的数项级数不一定收敛
一、题目
下面的数项级数是收敛还是发散？
$$
\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} + \cdots
$$
难度评级：
继续阅读“收敛的数项级数的项会越来越小，但项越来越小的数项级数不一定收敛”关于 $y$ $=$ $x$ 对称的二元函数的二阶偏导数也关于 $y$ $=$ $x$ 对称
一、题目
计算下面函数的二阶偏导数 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}}$ 和 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial y ^{2}}$:
$$
\begin{aligned}
⟬A⟭. \quad z(x, y) = \ & x ^{2} + y^{2} – 3 x^{4} y^{4} \\ \\
⟬B⟭. \quad z(x, y) = \ & \frac{x^{2} + y^{2}}{xy}
\end{aligned}
$$
难度评级：
继续阅读“关于 $y$ $=$ $x$ 对称的二元函数的二阶偏导数也关于 $y$ $=$ $x$ 对称”对一般的对数函数求导的时候，通常可以先转为自然对数
一、题目
已知：
$$
y = \log_{5} \left( \frac{x}{1-x} \right)
$$
则：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = ?
$$
Tip
$y$ $=$ $\log_{5} \left( \frac{x}{1-x} \right)$ $\Leftrightarrow$ $y$ $=$ $\log_{5}^{\frac{x}{1-x}}$
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难度评级：
继续阅读“对一般的对数函数求导的时候，通常可以先转为自然对数”