高等数学练习题 – 第 44 页 – 荒原之梦

求解带有 $\ln$ 的题目时一定不要忘记可以化“乘除”为“加减”

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ $\ln \frac{1 – 2x}{1 + 3x}$, 则 $f^{\prime \prime \prime}(0)$ $=$ $?$

难度评级：

隐函数结合变限积分的一个简单例题：遇到变限积分一般就要求导

一、题目

已知函数 $y = y(x)$ 是由方程 $x^{2}$ $+$ $\int_{0}^{y} (2 + \sin t^{2}) \mathrm{d} t$ $=$ $1$ 所确定的一个隐函数，则 $\mathrm{d} y = ?$

难度评级：

一个最基本的变限积分求导题：变上限积分且无需做变量替换

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{x} \ln (1 + \sin t) \mathrm{d} t$, 则 $f^{\prime \prime} (x)$ $=$ $?$

难度评级：

复合函数求偏导：循环复用，逐渐化简

一、题目

已知函数 $y = f(x)$ 由 $y=\sin (x+y)$ 确定，则 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2} = ?$

难度评级：

复杂的式子千万不要使用常规方法求解：整体代换，化繁为简

一、题目

已知：

$$
f(x) = x^{2} (x+1)^{2} (x+2)^{2} (x+3)^{2}.
$$

则 $f^{\prime \prime}(0) = ?$

难度评级：

求导会降阶，积分会升阶

一、前言

本文通过举例的方式讨论了如下结论：

求导会降阶，积分会升阶。

两种方法去根号：有理化或等价无穷小

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} – \sqrt{1 – \sin x}}{e^{x} – 1} = ?
$$

难度评级：

等价无穷小的组合变体：以 $(1 + x)^{a} \sim ax$ 为例

一、前言

根据荒原之梦网的《高等数学中常用的等价无穷小》这篇文章可知，当 $x \rightarrow 0$ 时，有：

$$
\begin{cases}
& (1 + x)^{a} \sim ax; \\
& \sin x \sim \arcsin x \sim \tan x \sim \arctan x \sim x.
\end{cases}
$$

其中，$a$ 为常数。

在实际应用中，我们可以将上面的等价无穷小组合起来，形成新的“变体”，在本文中，将给出几个相关的例子。

遇到关于 e 的函数式一定要注意“正负”

一、题目

已知 $a, b, c$ 均为非零常数，则：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a + b \textcolor{orange}{e^{\frac{1}{x}}}}{a – b \textcolor{orange}{e^{\frac{1}{x}}}} \cdot \frac{\sin cx}{|x|} = ?
$$

难度评级：

巧设特例，秒解题：一定要保证特例符合题意

一、题目

已知函数 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续，且有 $f(1) = 1$, 则 $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $\ln [ 2 + f(x^{\frac{1}{x}}) ]$ $=$ $?$

难度评级：

由一个形式的极限推导另一个形式的极限：以两道典型题目为例

一、前言

在本文中，荒原之梦网提供了两道“由一个形式的极限推导另一个形式的极限”的典型题目——

对于这类问题，我们有两种解决思路：

由已知式推导未知式；
由未知式反推已知式。

在本文中，我们将看到对上面这两种思路的应用。

单调有界即收敛，设出极限求极限

一、题目

已知 $x_{0}$ $=$ $0$, 且 $x_{n}$ $=$ $\frac{1 + 2 x_{n-1}}{1 + x_{n-1}}$, 其中 $n$ $=$ $1, 2, 3, \cdots$, 则 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $?$

难度评级：

三种方法解一道数列极限题

一、题目

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} n^{2} \big( \arctan \frac{2}{n} – \arctan \frac{2}{n+1} \big) = ?
$$

难度评级：

用拆分对数函数和洛必达运算求解一道极限题

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+} } x^{a} \ln (x^{2} + x) = ?
$$

其中，$a > 0$.

难度评级：

看到无穷大，就要想转为无穷小：因为无穷小能用的解题工具更多

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2} ( 2^{\frac{1}{x}} – 2^{\frac{1}{x + 1}} ) = ?
$$

难度评级：