一、题目
已知：
$$
a_{n}=3 \int_{0}^{\frac{n+1}{n}} x^{2 n-1} \sqrt{1+x^{2 n}} \mathrm{~d} x
$$
则：
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n a_{n} = ?
$$
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继续阅读“当定积分遇上无穷大：先积分再计算无穷大”标签： 高等数学练习题
一个看上去很难的积分题：某些隐函数其实是“假”的
当变限积分和无穷限反常积分在一起会碰撞出什么火花？
一、题目
已知 $b>0$ 为常数, $\varphi(x)$ $=$ $\frac{2}{\sqrt{\pi b}} \int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{b}} \mathrm{~d} t$, 并且 $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ $=$ $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$, 则 $\int_{0}^{+\infty}[1-\varphi(x)] \mathrm{d} x = ?$
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继续阅读“当变限积分和无穷限反常积分在一起会碰撞出什么火花？”求解由无穷限反常积分式子确定的“隐积分”
一、题目
已知 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛, $f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+x^{2}}$ $-$ $\frac{\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{x}} \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$, 则 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x = ?$
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继续阅读“求解由无穷限反常积分式子确定的“隐积分””通过一阶导和二阶导判断一重积分的大致取值范围
一、题目
已知 $\delta>0$, 且在区间 $(-\delta, \delta)$ 内，有：
$$
\begin{cases}
& f^{\prime \prime}(x)>0; \\
& f(0)=0; \\
& f^{\prime}(0)=0
\end{cases}
$$
又有 $I=\int_{-\delta}^{\delta} f(x) \mathrm{d} x$.
则 $I$ 与 $0$ 的关系如何？
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继续阅读“通过一阶导和二阶导判断一重积分的大致取值范围”利用几何意义快速判断一重定积分的性质
一、题目
已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导, 且 $f(x)>0$.
若下面不等式成立：
$$
f(a)(b-a)<\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x<(b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}
$$
则 $f^{\prime}(x)$ 和 $f^{\prime \prime}(x)$ 分别需要满足什么条件？
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继续阅读“利用几何意义快速判断一重定积分的性质”被看成常数的变量在整个积分运算过程中都要按照常数处理：即便该变量的表示形式和真正的变量一致也不行
一、题目
已知函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，在区间 $(0,1)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x)<0$ 其中 $x \in(0,1)$, 则：
当 $0<x<1$ 时，$\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 与 $\int_{0}^{1} x f(t) \mathrm{d} t$ 之间的大小关系如何？
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继续阅读“被看成常数的变量在整个积分运算过程中都要按照常数处理：即便该变量的表示形式和真正的变量一致也不行”带绝对值的式子一定要考虑清楚正负
一、题目
已知 $n$ 充分大时 $\left|a_{n}\right| \leq |b_{n}| \leq |c_{n}|$, 且 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} |c_{n}|$. 则以下选项，正确的是哪个？
(A) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\left|a_{n}\right|-b_{n}\right)=0$
(B) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left( |b_{n}| – c_{n}\right)=0$
(C) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left( |a_{n}| – c_{n}\right)=0$
(D) $\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left( |b_{n}| – a_{n}\right)=0$
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继续阅读“带绝对值的式子一定要考虑清楚正负”指定区间上的一个关键结论：sin x 小于 x，cos x 大于 x
一、题目
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin (\sin x) \mathrm{d} x$, $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos (\cos x) \mathrm{d} x$ 和 $1$ 的大小关系如何？
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继续阅读“指定区间上的一个关键结论：sin x 小于 x，cos x 大于 x”一道没用上变限积分性质的变限积分题目：应用了积分上下限的加减运算、周期函数的定积分性质和三角函数的性质
一、题目
已知：
$$
f(x)=\int_{0}^{x}\left(\mathrm{e}^{\cos t}-\mathrm{e}^{-\cos t}\right) \mathrm{d} t.
$$
则 $f(x)$ 和 $f(x+2 \pi)$ 之间是什么关系？
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继续阅读“一道没用上变限积分性质的变限积分题目：应用了积分上下限的加减运算、周期函数的定积分性质和三角函数的性质”计算极限问题时“抓大头”要慎重！
一、题目
$$
I=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sin ^{2}\left(\pi \sqrt{n^{2}+3 n}\right)=?
$$
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继续阅读“计算极限问题时“抓大头”要慎重！”由已知求未知：先把未知式子的形式往已知式子的形式上凑
一、题目
已知 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 并满足 $g\left(\frac{a+b}{2}+x\right)$ $=$ $-g\left(\frac{a+b}{2}-x\right)$ $\left(\forall x \in\left[0, \frac{b-a}{2}\right]\right)$, $\int_{0}^{\frac{b – a}{2}} g\left(\frac{a+b}{2}+t\right) \mathrm{d} t$ $=$ $A$, 则 $\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ $=$ $?$
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继续阅读“由已知求未知：先把未知式子的形式往已知式子的形式上凑”一个夸张的积分上限：肯定有规律可循
变限积分也是一种特殊的定积分：能转为定积分计算的可以尝试转为定积分进行计算
一、题目
已知 $f(x)$ 有连续的一阶导数，$f(0)=0$, $f(a)=1$, $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) f^{\prime}(2 a-t) \mathrm{d} t$, 则 $F(2 a)-2 F(a) = ?$
$$
(A) \quad 2
$$
$$
(B) \quad 0
$$
$$
(C) \quad 1
$$
$$
(D) \quad -1
$$
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继续阅读“变限积分也是一种特殊的定积分：能转为定积分计算的可以尝试转为定积分进行计算”解题不一定要单打独斗：单式问题变双式问题
一、题目
已知 $f(x)$ 为连续函数，且 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x \cos x) \cos x \mathrm{~d} x=A$, 则 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x \cos x) x \sin x \mathrm{~d} x=?$
$$
(A) \quad 0
$$
$$
(B) \quad A
$$
$$
(C) \quad -A
$$
$$
(D) \quad 2 A
$$
难度评级：
继续阅读“解题不一定要单打独斗：单式问题变双式问题”