高等数学基础 – 第 5 页

一、前言

传统上，关于“尖点为什么不可导”，其实并不构成一个“问题”，因为，尖点就是依据其不可导性被定义的。

但是，在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于最基本的数学公理，从全新的“峰”式视角，为同学们解释为什么尖点一定是不可导点，从而让同学们对有关知识建立更加深刻和形象的理解。

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一、前言

直观上来说，所谓“尖点”就是很“尖”的点。但是到底有多“尖”才能算尖点呢？

如果用传统的数学语言对尖点进行表述，那就是曲线上的动点在移动的时候，移动方向会瞬间发生改变的点，也就是导数的正负（切线的方向）突然发生改变的点。

例如，图 01 和图 02 中的点 $O (0,0)$ 都是尖点，在点 $O (0, 0)$ 的左右两侧，导数的正负发生了改变：

判度一个点是不是尖点的“峰”式图形化方法：落圆法 | 荒原之梦考研数学 | 图 01. 函数 y = |x| 的函数图象. — 图 01. 函数 $y$ $=$ $|x|$ 的函数图象.

判度一个点是不是尖点的“峰”式图形化方法：落圆法 | 荒原之梦考研数学 | 图 02. 函数 y = \sqrt{|x|} 的函数图象. — 图 02. 函数 $y$ $=$ $\sqrt{|x|}$ 的函数图象.

但是，上述中传统的数学方法，很难用于在直观上判断什么点是尖点，什么点不是尖点。

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」就通过独创的“ 落圆法 ”，让同学们利用直观的几何性质理解“ 尖点 ”和“ 非尖点 ”的区别。

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一、前言

在进行极限计算的时候，我们常常会遇到 $x = 0$ 或者 $x \rightarrow 0$ 的情况。那么，在具体计算的时候，我们该如何区分等于零和趋于零在计算过程中的不同性质和作用呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于“峰式思维”为同学们介绍一种解决该问题的“不严谨”但很实用的方法。

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一、前言

在高等数学的一些题目中（假设变量为 $x$），我们会遇到需要区分：
$\textcolor{lightgreen}{\blacklozenge}$ $x \rightarrow 0^{+}$ 和 $x \rightarrow 0^{-}$;
$\textcolor{lightgreen}{\blacklozenge}$ $x \rightarrow k^{+}$ 和 $x \rightarrow k^{-}$;
$\textcolor{lightgreen}{\blacklozenge}$ $x \rightarrow + \infty$ 和 $x \rightarrow – \infty$
的情况（其中 $k$ 为常数）。

以及不需要区分正负，只需要考虑：
$\textcolor{lightgreen}{\blacksquare}$ $x \rightarrow 0$;
$\textcolor{lightgreen}{\blacksquare}$ $x \rightarrow k$;
$\textcolor{lightgreen}{\blacksquare}$ $x \rightarrow \infty$
的情况。

那么，我们该怎么判度一个含有极限的极限式子是否需要考虑极限的正负呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过思路图和例题，为同学们讲清楚这个问题。

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通过画图理解函数与数列之间相互嵌套复合后的敛散与单调性

一、前言

函数与数列具有很多相似的性质，例如敛散性和单调性等，但毕竟函数是一个基于“连续”的数学概念，而数列是一个基于“离散”的数学概念，所以，函数和数列之间也存在着诸多的区别。

那么，如果让函数和数列，通过嵌套复合的方式组成新的数列，则新数列的敛散性和单调性会呈现出来什么样的性质呢，我们该如何快速、形象又准确地判断出来这些性质呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用“ 峰式 ”解法和传统解法两种方法为同学们提供一些求解此类问题的全新思路，希望可以帮助同学们提升解决这类问题的速度并理清相关思路。

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对“二阶嵌套分式”的一种快速变形定理

一、前言

在做数学题的时候，掌握一些计算技巧，可以帮助我们加快解题速度。在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学讲解一下形如下面这个“嵌套分式”的快速等价变形计算方法：

$$
\frac{a/b}{c/d}
$$

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峰式 (FENG Type) 图形法：直观地理解数列及数列的基本性质

一、前言

在高等数学中，我们一般会用 “$\{ x_{n} \}$” 或者 “$\{ y_{n} \}$” 表示数列，数列和函数有很多异同点，要想深入地理解数列，首先就要明白什么是数列，以及数列的敛散性。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用通俗易懂的解释，为同学们讲明白数列的那些事。

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扩展的极限“抓大去小”定理

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的文章《取大头：分子或分母中的加减法所连接的部分可以使用“取大头”算法》中，我们主要讨论了当 $x \rightarrow +\infty$, 且 $x^{n}$ 中的 $n$ 为正整数的时候，极限式子“取大头去小头”的定理，在本文中，我们将对极限式子的“取大头去小头”的定理进行扩展，助力同学们提升解题速度。

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“峰式”变限积分法：判断方程实数根（或函数实数解）存在性的另一种方法

一、前言

一般情况下，我们判断方程实数根的存在性或者函数实数解的存在性（也就是函数图像与 $X$ 轴是否存在交点，以及交点的个数）通常使用的方法是求导法，也就是通过求导判断函数的单调性，再利用函数的极值，判断函数图像与 $X$ 轴是否存在交点。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过原创的“峰式”变限积分法，来判断方程实数根（或函数实数解）的存在性，为同学们在求解该类型题目时提供另一种解题思路。

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两种方法证明对数的“次方”/“指係”公式

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过两种方法证明下面的对数次方公式（也称“对数指係公式”）：

$$
\log_{\alpha^{n}} x^{m} = \frac{m}{n} \log_{\alpha} x
$$

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证明对数的“换底”/“基变换”公式

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将给出下面这个对数换底公式（也称“对数基变换公式”）的详细证明：

$$
\textcolor{pink}{ \log_{y} x } = \frac{\log_{\beta} x}{\log_{\beta} y}
$$

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对数“和差”公式的完整证明

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过完善的逻辑推理，分别证明以下两个对数的“和”与“差”公式：

$$
\begin{aligned}
\log_{\alpha} M N & = \log_{\alpha} M + \log_{\alpha} N \\
\log_{\alpha} \frac{M}{N} & = \log_{\alpha} M – \log_{\alpha} N
\end{aligned}
$$

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取对数的作用：压缩数值、变非线性为线性

一、前言

意大利物理学家、数学家和天文学家伽利略曾经说过：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。”，同时，在我们学习数学或者使用数学的时候，也常常会遇到“对数”。

但是，取对数到底有什么用呢？在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们揭开对数的“神秘”面纱。

正文

压缩数值

对数的其中一个作用就是可以“压缩”数值，或者说，对数可以反应较大数字的“量级”。

例如，对于数字 $123456$ 和 $654321$ 是两个相差特别大的数字，如果要比较这样的数字的大小，或者将其绘制在坐标图上，都不是很好表示，但如果我们对其取对数，就可以在减少这样的差异，并且不改变原有的大小关系（因为对数函数是一个单调递增的函数，可以保留原有的相对大小关系）：

$$
\log_{10}^{123456} \simeq 5.0915
$$

$$
\log_{10}^{654321} \simeq 5.8158
$$

在上面做数值压缩的过程中，我们使用的是底数为 $10$ 的“常用对数”，因为常用的数字就是十进制的，用底数为 $10$ 的对数可以很方便的显示出原有数字的量级（一个“量级”就是十进制的一个“位”，即千位、百位和十位等），例如：

$$
\log_{10}^{6 \times 10^{\textcolor{springgreen}{8}}} \simeq \textcolor{springgreen}{8}.7782
$$

$$
\log_{10}^{9 \times 10^{\textcolor{springgreen}{8}}} \simeq \textcolor{springgreen}{8}.9542
$$

$$
\log_{10}^{2 \times 10^{\textcolor{orangered}{9}}} \simeq \textcolor{orangered}{9}.3010
$$

当然，用其他底数也可以大致反映出不同十进制数字的相对大小，但不能反映出十进制数字原本的量级：

$$
\log_{\mathrm{e}}^{6 \times 10^{\textcolor{pink}{8}}} \simeq \textcolor{tan}{20}.2124
$$

$$
\log_{\mathrm{e}}^{9 \times 10^{\textcolor{pink}{8}}} \simeq \textcolor{tan}{20}.6179
$$

$$
\log_{\mathrm{e}}^{2 \times 10^{\textcolor{pink}{9}}} \simeq \textcolor{tan}{21}.4164
$$

Note

在实际应用中，至少下面的数值或者表示方法都使用了对数：
⁕ 里氏地震震级（用于描述地震烈度）
⁕ 分贝（用于音量）
⁕ 奈培（用于电功率）
⁕ 音分、小二度、全音及纯八度等（用于音乐中的相对音高）
⁕ Logit（用于统计学的发生比）
⁕ 巴勒莫撞击危险指数（用于表示近地天体撞击地球的危险几率）
⁕ 对数时间线
⁕ 焦比（用于计算摄影中的曝光量）
⁕ 熵（用于热力学）
⁕ 信息（用于信息论）
⁕ 土壤的颗粒尺寸分布的曲线
⁕ 对数星图（用于表示星体之间的相对位置）
⁕ 能量密度（用于铀和化石燃料能量密度的比较）
⁕ pH 值（用于表示酸性）
⁕ 视星（用于表示恒星亮度）
⁕ 克伦宾尺度（用于地质学中表示粒径）
⁕ 吸光度（用于描述物体的透光性能）
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变非线性为线性

此外，取对数的另一个作用就是将非线性的式子转换为线性的式子。

例如，当 $Z$ 为变量，$n$ 为常数的时候，”$Z^{n}$” 不是一个线性表达式，但是，对其取对数之后，就可以转变为线性表达式 “$n \log Z$”:

$$
\log Z^{n} = n \log Z
$$

同样的，当 $x$ 和 $y$ 为变量的时候，”$xy$” 不是一个线性表达式，但是对其取对数之后，就可以转变为线性表达式 “$\log x$ $+$ $\log y$”:

$$
\log (xy) = \log x + \log y
$$

线性表达式在计算上更加简单，在人工智能领域有着广泛且深入的应用。

高等数学

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。

线性代数

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特别专题

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让考场上没有难做的数学题！

极限不怕“无穷小”，但是极限怕“有限小”

一、题目

已知 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$, 并且 $K \neq 0$, 则当 $n$ 充分大时，下列结论中一定正确的是哪个？

⟨A⟩» $A_{n}$ $<$ $K + \frac{1}{n}$

⟨B⟩» $A_{n}$ $>$ $K – \frac{1}{n}$

⟨C⟩» $\left| A_{n} \right|$ $>$ $\frac{|K|}{2}$

⟨D⟩» $\left| A_{n} \right|$ $<$ $\frac{|K|}{2}$

难度评级：

二、解析

“无穷小”和“有限小”

无穷小量不可数，例如，当 $x \rightarrow \infty$ 的时候，$\frac{1}{x}$, $\frac{2}{x}$, $\frac{9999999}{x}$ 都是无穷小量，我们也可以将无穷小理解为“无限小”；

有限小量可数，例如，无论是 $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{100}$, 还是 $\frac{1}{9999999}$, 虽然在某些程度上都是很小的数字，但他们都是可数的，都是一个确定的量。

加上或者减去一个无穷小量不会对原有的数值产生影响：

$$
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{ 1 }} + \textcolor{pink}{ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} } = 1 + \textcolor{pink}{ 0 } \textcolor{springgreen}{ = 1 }
$$

加上或者减去一个有限小量会对原有的数值产生影响：

$$
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{ 1 }} + \frac{1}{9999999} = \frac{9999999 + 1}{9999999} = \frac{10000000}{9999999} \textcolor{orangered}{\neq 1}
$$

有了上面的知识之后，求解本题就很容易了。

⟨A⟩ & ⟨B⟩

首先可以看到，无论是让 $K$ 加上 $\frac{1}{n}$ 还是减去 $\frac{1}{n}$, 当 $n$ 充分大时，也就是当 $n \rightarrow \infty$ 时，都有：

$$
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0
$$

也就是说，当 $n \rightarrow \infty$ 时：

$$
K + \frac{1}{n} = K – \frac{1}{n} = K
$$

又由题目已知条件 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 可知：

$$
\begin{aligned}
A_{n} & \textcolor{springgreen}{=} K + \frac{1}{n} \quad \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\checkmark}} \\ \\
A_{n} & \textcolor{springgreen}{=} K – \frac{1}{n} \quad \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\checkmark}}
\end{aligned}
$$

综上可知，C 选项正确。

我们也可以用反例法求解本题：

当 $n \rightarrow \infty$ 时，若令 $A_{n}$ $=$ $K + \frac{2}{n}$, 则也满足题目 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 的条件，但此时：

$$
\begin{aligned}
& \left( A_{n} = K + \frac{2}{n} \right) > \left( K + \frac{1}{n} \right) \\ \\
\textcolor{springgreen}{\Rightarrow} \ & A_{n} > \left( K + \frac{1}{n} \right) \quad \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\checkmark}} \\ \\
\textcolor{orangered}{\nRightarrow} \ & \textcolor{red}{ \cancel{ \textcolor{white}{ A_{n} < \left( K + \frac{1}{n} \right) } } }
\end{aligned}
$$

类似的，当 $n \rightarrow \infty$ 时，若令 $A_{n}$ $=$ $K – \frac{2}{n}$, 则也满足题目 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 的条件，但此时：

$$
\begin{aligned}
& \left( A_{n} = K – \frac{2}{n} \right) < \left( K – \frac{1}{n} \right) \\ \\ \textcolor{springgreen}{\Rightarrow} \ & A_{n} < \left( K – \frac{1}{n} \right) \quad \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\checkmark}} \\ \\ \textcolor{orangered}{\nRightarrow} \ & \textcolor{red}{ \cancel{ \textcolor{white}{ A_{n} > \left( K – \frac{1}{n} \right) } } }
\end{aligned}
$$

⟨C⟩ & ⟨D⟩

虽然我们不知道 $K$ 是一个正数还是一个负数，但是，由题目已知条件 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$ $\neq$ $0$ 可知：

$$
\textcolor{orange}{
\lim_{n \rightarrow \infty} |A_{n}| = |K| > 0 } \tag{1}
$$

且：

$$
\frac{|K|}{2} > 0
$$

由于当 $n$ 足够大时，也就是 $n \rightarrow \infty$ 时，上面的 $\textcolor{orange}{(1)}$ 式一定成立，并且 $\frac{|K|}{2}$ 是一个可数的数值，所以下式一定成立：

$$
|K| > \frac{|K|}{2}
$$

即：

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} |A_{n}| > \frac{|K|}{2}
$$

我们也可以用极限的定义求解本题：

由题目已知条件 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$ $=$ $K$ $\neq$ $0$ 可知：

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} |A_{n}| = |K| > 0
$$

于是，根据极限的定义可知，若令 $\xi = \frac{|K|}{2}$, 则一定存在正整数 $N$, 使得当 $n > N$ 时，有：

$$
\begin{aligned}
& \left( \textcolor{orange}{ \Big| |A_{n}| − |K⁢⁢⁢|⁢⁢⁢ \Big| } \right) < \left( \textcolor{orange}{ \xi = \frac{∣⁢⁢⁢K⁢⁢⁢∣}{2} } \right) \\ \\
\Rightarrow \ & \Big| |A_{n}| − |⁢K|⁢⁢⁢ \Big| < \frac{|K|}{2} \\ \\
\Rightarrow \ & \frac{-|K|}{2} < \left( \textcolor{pink}{ |A_{n}| − |K⁢⁢⁢| } \right) < \frac{|K|}{2} \\ \\
\Rightarrow \ & \frac{|K|}{2} < |A_{n}| < \frac{3 |K|}{2} \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{gray}{ |A_{n}| < |K| } \\ \\
\textcolor{springgreen}{\Rightarrow} \ & \frac{|K|}{2} < |A_{n}| < |K| \quad \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\checkmark}}
\end{aligned}
$$

事实上，若 $k$ $\in$ $(0, 1)$, $\xi$ $\in$ $(0, |K|)$ 按照上述方法，我们可以证明当 $n$ 足够大的时候，下式一定成立：

$$
\textcolor{yellow}{
|A_{n}| > k |K|
}
$$

综上可知，C 选项正确。