高等数学基础 – 第 32 页

问题

下列哪一项是 [抛物柱面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A]. $x^{2}$ $-$ $2 a y$ $=$ $0$

[B]. $x^{2}$ $+$ $2 a y$ $=$ $1$

[C]. $x^{2}$ $+$ $2 a y$ $=$ $0$

[D]. $x^{2}$ $+$ $2 a y^{2}$ $=$ $0$

答案

$\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{yellow}{2}}$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\textcolor{yellow}{2} \textcolor{cyan}{a} \textcolor{orange}{y}$ $=$ $\textcolor{red}{0}$

问题

下列哪一项是 [椭圆柱面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $-$ $\frac{y^{2}}{a^{2}}$ $=$ $1$

[B]. $\frac{x^{2}}{a}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b}$ $=$ $1$

[C]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $=$ $0$

[D]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $=$ $1$

答案

$\frac{\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{a}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\frac{\textcolor{orange}{y}^{\textcolor{yellow}{2}}}{\textcolor{cyan}{b}^{\textcolor{yellow}{2}}}$ $=$ $\textcolor{red}{1}$

椭圆锥面的方程（B010）

问题

下列哪一项是 [椭圆锥面] 的方程？

其中，$a$, $b$, $c$ 分别表示位于 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的半轴.

选项

[A]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $0$

[B]. $\frac{x^{2}}{c^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $\frac{z^2}{a^2}$ $=$ $0$

[C]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $+$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $0$

[D]. $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ $+$ $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ $-$ $\frac{z^2}{c^2}$ $=$ $1$

答案

$\frac{\textcolor{orange}{x}^{2}}{\textcolor{cyan}{a}^{2}}$ $\textcolor{yellow}{+}$ $\frac{\textcolor{orange}{y}^{2}}{\textcolor{cyan}{b}^{2}}$ $\textcolor{yellow}{-}$ $\frac{\textcolor{orange}{z}^2}{\textcolor{cyan}{c}^2}$ $=$ $\textcolor{red}{0}$

$xOy$ 平面上的曲线绕 $y$ 轴旋转所形成的旋转曲面的方程（B010）

问题

若 $L$ 是平面 $\textcolor{orange}{xOy}$ 上的一条曲线，且该曲线的方程为 $\left\{\begin{array}{l} f(x, y)=0 \\ z=0 \end{array}\right.$.

那么，曲线 $L$ 绕 $\textcolor{orange}{y}$ 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是什么？

选项

[A]. $f(x^{2} + z^{2} ,y)$ $=$ $0$

[B]. $f(\sqrt{x^{2} + y^{2}} ,z)$ $=$ $0$

[C]. $f(\sqrt{x^{2} + z^{2}} ,y)$ $=$ $1$

[D]. $f(\sqrt{x^{2} + z^{2}} ,y)$ $=$ $0$

答案

$f(\textcolor{yellow}{\pm} \sqrt{\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{cyan}{2}} + \textcolor{orange}{z}^{\textcolor{cyan}{2}}}, \textcolor{orange}{y} )$ $=$ $0$

在应用时，用 $\textcolor{orange}{\pm}$ $\textcolor{orange}{\sqrt{x^{2} + z^{2}}}$ 去代替曲线方程 $f(\textcolor{orange}{x}, y)$ $=$ $0$ 中的 $\textcolor{orange}{x}$ 即可.

旋转曲面的面积公式：

$xOy$ 平面上的曲线绕 $x$ 轴旋转所形成的旋转曲面的方程（B010）

问题

若 $L$ 是平面 $\textcolor{orange}{xOy}$ 上的一条曲线，且该曲线的方程为 $\left\{\begin{array}{l} f(x, y)=0 \\ z=0 \end{array}\right.$.

那么，曲线 $L$ 绕 $\textcolor{orange}{x}$ 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是什么？

选项

[A]. $f(x, \pm \sqrt{y + z})$ $=$ $0$

[B]. $f(\pm \sqrt{y^{2} + z^{2}}, y)$ $=$ $0$

[C]. $f(x, \pm \sqrt{y^{2} + z^{2}})$ $=$ $1$

[D]. $f(x, \pm \sqrt{y^{2} + z^{2}})$ $=$ $0$

答案

$f(\textcolor{orange}{x}, \textcolor{yellow}{\pm} \sqrt{\textcolor{orange}{y}^{\textcolor{cyan}{2}} + \textcolor{orange}{z}^{\textcolor{cyan}{2}}})$ $=$ $0$

在应用时，用 $\textcolor{orange}{\pm}$ $\textcolor{orange}{\sqrt{y^{2} + z^{2}}}$ 去代替曲线方程 $f(x, \textcolor{orange}{y})$ $=$ $0$ 中的 $\textcolor{orange}{y}$ 即可.

旋转曲面的面积公式：

$zOy$ 平面上的曲线绕 $z$ 轴旋转所形成的旋转曲面的方程（B010）

问题

若 $L$ 是平面 $\textcolor{orange}{zOy}$ 上的一条曲线，且该曲线的方程为 $\left\{\begin{array}{l} f(y, z)=0 \\ x=0 \end{array}\right.$.

那么，曲线 $L$ 绕 $\textcolor{orange}{z}$ 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是什么？

选项

[A]. $f(\pm \sqrt{x^{2} + y^{2}}, z)$ $=$ $0$

[B]. $f(x, \pm \sqrt{y^{2} + z^{2}})$ $=$ $0$

[C]. $f(\pm \sqrt{x + y}, z)$ $=$ $0$

[D]. $f(\pm \sqrt{x^{2} + y^{2}}, z)$ $=$ $1$

答案

$f(\textcolor{yellow}{\pm} \sqrt{\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{cyan}{2}} + \textcolor{orange}{y}^{\textcolor{cyan}{2}}}, \textcolor{orange}{z})$ $=$ $0$

在应用时，用 $\textcolor{orange}{\pm}$ $\textcolor{orange}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 去代替曲线方程 $f(\textcolor{orange}{y}, z)$ $=$ $0$ 中的 $\textcolor{orange}{y}$ 即可.

旋转曲面的面积公式：

$zOy$ 平面上的曲线绕 $y$ 轴旋转所形成的旋转曲面的方程（B010）

问题

若 $L$ 是平面 $\textcolor{orange}{zOy}$ 上的一条曲线，且该曲线的方程为 $\left\{\begin{array}{l} f(y, z)=0 \\ x=0 \end{array}\right.$.

那么，曲线 $L$ 绕 $\textcolor{orange}{y}$ 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是什么？

选项

[A]. $f(z, \pm \sqrt{x^{2} + y^{2}})$ $=$ $0$

[B]. $f(y, \pm \sqrt{y^{2} + z^{2}})$ $=$ $0$

[C]. $f(y, \pm \sqrt{x^{2} + z^{2}})$ $=$ $1$

[D]. $f(y, \pm \sqrt{x + z})$ $=$ $0$

答案

$f(\textcolor{orange}{y}, \textcolor{yellow}{\pm} \sqrt{\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{cyan}{2}} + \textcolor{orange}{z}^{\textcolor{cyan}{2}}})$ $=$ $0$

在应用时，用 $\textcolor{orange}{\pm}$ $\textcolor{orange}{\sqrt{x^{2} + z^{2}}}$ 去代替曲线方程 $f(y, \textcolor{orange}{z})$ $=$ $0$ 中的 $\textcolor{orange}{z}$ 即可.

旋转曲面的面积公式：

$zOx$ 平面上的曲线绕 $z$ 轴旋转所形成的旋转曲面的方程（B010）

问题

若 $L$ 是平面 $\textcolor{orange}{zOx}$ 上的一条曲线，且该曲线的方程为 $\left\{\begin{array}{l} f(x, z)=0 \\ y=0 \end{array}\right.$.

那么，曲线 $L$ 绕 $\textcolor{orange}{z}$ 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是什么？

选项

[A]. $f\left(\pm \sqrt{x+y}, z \right)$ $=$ $0$

[B]. $f\left(\pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}, z \right)$ $=$ $1$

[C]. $f\left(\pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}, z \right)$ $=$ $0$

[D]. $f\left(z, \pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ $=$ $0$

答案

$f\left(\textcolor{yellow}{\pm} \sqrt{\textcolor{orange}{x}^{\textcolor{red}{2}}+\textcolor{orange}{y}^{\textcolor{red}{2}}}, \textcolor{orange}{z} \right)$ $=$ $0$

在应用时，用 $\textcolor{orange}{\pm}$ $\textcolor{orange}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 去代替曲线方程 $f(\textcolor{orange}{x}, z)$ $=$ $0$ 中的 $\textcolor{orange}{x}$ 即可.

旋转曲面的面积公式：

$zOx$ 平面上的曲线绕 $x$ 轴旋转所形成的旋转曲面的方程（B010）

问题

若 $L$ 是平面 $\textcolor{orange}{zOx}$ 上的一条曲线，且该曲线的方程为 $\left\{\begin{array}{l} f(x, z)=0 \\ y=0 \end{array}\right.$.

那么，曲线 $L$ 绕 $\textcolor{orange}{x}$ 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是什么？

选项

[A]. $f\left(x, \pm \sqrt{y^{2}+z^{2}}\right)$ $=$ $0$

[B]. $f\left(x, \pm \sqrt{y+z}\right)$ $=$ $0$

[C]. $f\left(x, + \sqrt{y^{2}+z^{2}}\right)$ $=$ $0$

[D]. $f\left(x, \pm \sqrt{y^{2}+z^{2}}\right)$ $=$ $1$

答案

$f\left(\textcolor{orange}{x}, \textcolor{yellow}{\pm} \sqrt{\textcolor{orange}{y}^{\textcolor{cyan}{2}}+\textcolor{orange}{z}^{\textcolor{cyan}{2}}}\right)$ $=$ $0$

在应用时，用 $\textcolor{orange}{\pm}$ $\textcolor{orange}{\sqrt{y^{2} + z^{2}}}$ 去代替曲线方程 $f(x, \textcolor{orange}{z})$ $=$ $0$ 中的 $\textcolor{orange}{z}$ 即可.

旋转曲面的面积公式：

三维直角坐标系上点到直线的距离（B009）

问题

在三维直角坐标系中，已知点 $M_{1}$ $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ 为直线 $Ax$ $+$ $By$ $+$ $Cz$ $+$ $D$ $=$ $0$ 上的任意一点，向量 $\vec{s}$ $=$ $(l, m, n)$ 为该直线的方向向量，则点 $M_{0}$ $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 到该直线的距离 $d$ $=$ $?$

选项

[A]. $d$ $=$ $\frac{\left|\left(x_{1}-x_{0}, y_{1}-y_{0}, z_{1}-z_{0}\right) \times(l, m, n)\right|}{\sqrt{l+m+n}}$

[B]. $d$ $=$ $\frac{\left|\left(x_{1}-x_{0}, y_{1}-y_{0}, z_{1}-z_{0}\right) \times(l, m, n)\right|}{l^{2}+m^{2}+n^{2}}$

[C]. $d$ $=$ $\frac{\left(x_{1}-x_{0}, y_{1}-y_{0}, z_{1}-z_{0}\right) \times(l, m, n)}{\sqrt{l^{2}+m^{2}+n^{2}}}$

[D]. $d$ $=$ $\frac{\left|\left(x_{1}-x_{0}, y_{1}-y_{0}, z_{1}-z_{0}\right) \times(l, m, n)\right|}{\sqrt{l^{2}+m^{2}+n^{2}}}$

答案

$d$ $=$ $\frac{\left|\overrightarrow{M_{\textcolor{orange}{0}} M_{\textcolor{cyan}{1}}} \times \textcolor{red}{\vec{s}} \right|}{|\textcolor{red}{\vec{s}}|}$ $=$ $\frac{\left|\left(x_{\textcolor{cyan}{1}}-x_{\textcolor{orange}{0}}, y_{\textcolor{cyan}{1}}-y_{\textcolor{orange}{0}}, z_{\textcolor{cyan}{1}}-z_{\textcolor{orange}{0}}\right) \times(\textcolor{red}{l}, \textcolor{red}{m}, \textcolor{red}{n})\right|}{\sqrt{\textcolor{red}{l}^{2}+\textcolor{red}{m}^{2}+\textcolor{red}{n}^{2}}}$

二维直角坐标系上点到直线的距离（B009）

问题

在二维直角坐标系中，点 $M$ $(x_{0}, y_{0})$ 到直线 $Ax$ $+$ $By$ $+$ $C$ $=$ $0$ 的距离 $d$ $=$ $?$

选项

[A]. $d$ $=$ $\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C\right|}{A^{2}+B^{2}}$

[B]. $d$ $=$ $\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C\right|}{\sqrt{A+B}}$

[C]. $d$ $=$ $\frac{A x_{0}+B y_{0}+C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

[D]. $d$ $=$ $\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

答案

$d$ $=$ $\frac{\left|\textcolor{orange}{A} \textcolor{cyan}{x_{0}}+\textcolor{orange}{B} \textcolor{cyan}{y_{0}}+\textcolor{orange}{C}\right|}{\sqrt{\textcolor{orange}{A}^{\textcolor{red}{2}}+\textcolor{orange}{B}^{\textcolor{red}{2}}}}$

点到平面的距离（B009）

问题

点 $M$ $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 到平面 $Ax$ $+$ $By$ $+$ $Cz$ $=$ $0$ 的距离 $d$ $=$ $?$

选项

[A]. $d$ $=$ $\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}+D\right|}{\sqrt{A+B+C}}$

[B]. $d$ $=$ $\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

[C]. $d$ $=$ $\frac{A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}+D}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

[D]. $d$ $=$ $\frac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C z_{0}+D\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

答案

$d$ $=$ $\frac{\left|\textcolor{orange}{A} \textcolor{cyan}{x_{0}}+\textcolor{orange}{B} \textcolor{cyan}{y_{0}}+\textcolor{orange}{C} \textcolor{cyan}{z_{0}}+\textcolor{orange}{D}\right|}{\sqrt{\textcolor{orange}{A}^{\textcolor{red}{2}}+\textcolor{orange}{B}^{\textcolor{red}{2}}+\textcolor{orange}{C}^{\textcolor{red}{2}}}}$

直线与平面呈夹角 $\theta$ 时的性质（B009）

问题

若直线 $L$ 的表达式为 $\frac{x-x_{0}}{l}$ $=$ $\frac{y-y_{0}}{m}$ $=$ $\frac{z-z_{0}}{n}$, 平面 $\pi$ 的表达式为 $Ax$ $+$ $By$ $+$ $Cz$ $+$ $D$ $=$ $0$. 此外，直线 $L$ 的方向向量为 $\vec{s}$ $=$ $(l, m, n)$, 平面 $\pi$ 的法向量为 $\vec{n}$ $=$ $(A, B, C)$.

那么，若 $L$ 与 $\pi$ 之间的夹角为 $\theta$, 且 $(0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2})$, 则 $\sin \theta$ $=$ $?$

选项

[A]. $\sin \theta$ $=$ $\frac{|Al + Bm + Cn|}{(l^{2} + m^{2} + n^{2}) \times (A^{2} + B^{2} + C^{2})}$

[B]. $\sin \theta$ $=$ $\frac{Al + Bm + Cn}{\sqrt{l^{2} + m^{2} + n^{2}} \times \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

[C]. $\cos \theta$ $=$ $\frac{|Al + Bm + Cn|}{\sqrt{l^{2} + m^{2} + n^{2}} \times \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

[D]. $\sin \theta$ $=$ $\frac{|Al + Bm + Cn|}{\sqrt{l^{2} + m^{2} + n^{2}} \times \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

答案

$\textcolor{red}{\sin \theta}$ $=$ $\frac{|\textcolor{orange}{\vec{s}} \cdot \textcolor{cyan}{\vec{n}}|}{|\textcolor{orange}{\vec{s}}| |\textcolor{cyan}{\vec{n}}|}$ $=$ $\frac{|\textcolor{cyan}{A} \textcolor{orange}{l} + \textcolor{cyan}{B} \textcolor{orange}{m} + \textcolor{cyan}{C} \textcolor{orange}{n}|}{\sqrt{\textcolor{orange}{l}^{2} + \textcolor{orange}{m}^{2} + \textcolor{orange}{n}^{2}} \times \sqrt{\textcolor{cyan}{A}^{2} + \textcolor{cyan}{B}^{2} + \textcolor{cyan}{C}^{2}}}$

直线与平面垂直时的性质（B009）

问题

那么，若 $L$ $\perp$ $\pi$, 则可以引申出来哪些性质？

选项

[A]. $L$ $\perp$ $\pi$ $\Leftrightarrow$ $\vec{s}$ $//$ $\vec{N}$ $\Leftrightarrow$ $Al$ $+$ $Bm$ $+$ $Cn$ $=$ $0$ $\Leftrightarrow$ $\vec{s}$ $\times$ $\vec{N}$ $=$ $0$

[B]. $L$ $\perp$ $\pi$ $\Leftrightarrow$ $\vec{s}$ $\perp$ $\vec{N}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{A}{l}$ $=$ $\frac{B}{m}$ $=$ $\frac{C}{n}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{s}$ $\times$ $\vec{N}$ $=$ $0$

[C]. $L$ $\perp$ $\pi$ $\Leftrightarrow$ $\vec{s}$ $//$ $\vec{N}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{A}{l}$ $=$ $\frac{B}{m}$ $=$ $\frac{C}{n}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{s}$ $\cdot$ $\vec{N}$ $=$ $0$

[D]. $L$ $\perp$ $\pi$ $\Leftrightarrow$ $\vec{s}$ $//$ $\vec{N}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{A}{l}$ $=$ $\frac{B}{m}$ $=$ $\frac{C}{n}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{s}$ $\times$ $\vec{N}$ $=$ $0$

答案

$\textcolor{orange}{L}$ $\textcolor{cyan}{\perp}$ $\textcolor{red}{\pi}$ $\Leftrightarrow$ $\textcolor{orange}{\vec{s}}$ $\textcolor{cyan}{//}$ $\textcolor{red}{\vec{N}}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{\textcolor{red}{A}}{\textcolor{orange}{l}}$ $\textcolor{cyan}{=}$ $\frac{\textcolor{red}{B}}{\textcolor{orange}{m}}$ $\textcolor{cyan}{=}$ $\frac{\textcolor{red}{C}}{\textcolor{orange}{n}}$ $\Leftrightarrow$ $\textcolor{orange}{\vec{s}}$ $\textcolor{cyan}{\times}$ $\textcolor{red}{\vec{N}}$ $=$ $0$

直线与平面平行时的性质（B009）

问题

那么，若 $L$ $//$ $\pi$, 则可以引申出来哪些性质？

选项

[A]. $L$ $//$ $\pi$ $\Leftrightarrow$ $\vec{s}$ $\perp$ $\vec{n}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{A}{l}$ $=$ $\frac{B}{m}$ $=$ $\frac{C}{n}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{s}$ $\cdot$ $\vec{n}$ $=$ $0$

[B]. $L$ $//$ $\pi$ $\Leftrightarrow$ $\vec{s}$ $//$ $\vec{n}$ $\Leftrightarrow$ $Al$ $+$ $Bm$ $+$ $Cn$ $=$ $0$ $\Leftrightarrow$ $\vec{s}$ $\cdot$ $\vec{n}$ $=$ $0$

[C]. $L$ $//$ $\pi$ $\Leftrightarrow$ $\vec{s}$ $\perp$ $\vec{n}$ $\Leftrightarrow$ $Al$ $+$ $Bm$ $+$ $Cn$ $=$ $0$ $\Leftrightarrow$ $\vec{s}$ $\times$ $\vec{n}$ $=$ $1$

[D]. $L$ $//$ $\pi$ $\Leftrightarrow$ $\vec{s}$ $\perp$ $\vec{n}$ $\Leftrightarrow$ $Al$ $+$ $Bm$ $+$ $Cn$ $=$ $0$ $\Leftrightarrow$ $\vec{s}$ $\cdot$ $\vec{n}$ $=$ $0$

答案

$\textcolor{orange}{L}$ $\textcolor{yellow}{//}$ $\textcolor{cyan}{\pi}$ $\textcolor{blue}{\Leftrightarrow}$ $\textcolor{orange}{\vec{s}}$ $\textcolor{yellow}{\perp}$ $\textcolor{cyan}{\vec{n}}$ $\textcolor{blue}{\Leftrightarrow}$ $\textcolor{cyan}{A}\textcolor{orange}{l}$ $+$ $\textcolor{cyan}{B}\textcolor{orange}{m}$ $+$ $\textcolor{cyan}{C}\textcolor{orange}{n}$ $=$ $\textcolor{red}{0}$ $\textcolor{blue}{\Leftrightarrow}$ $\textcolor{orange}{\vec{s}}$ $\cdot$ $\textcolor{cyan}{\vec{n}}$ $=$ $\textcolor{red}{0}$