标签： 高等数学基础

一、题目

对变上限积分：

$$
\textcolor{orange}{
\int_{0}^{x} t f(x – t) \mathrm{d} t}
$$

进行求导运算的结果是什么？

一、题目

$$
\textcolor{tan}{
\int e^{\int (\frac{1}{y^{2}} – \frac{2}{y}) \mathrm{d} y} \mathrm{d} y} = ?
$$

一、问题描述

当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，有一个重要的等价无穷小：

$$
\textcolor{orange}{e^{x} – 1 \sim x}
$$

但是，有时候我们可能会将该等价无穷小错记成下面这种形式：

$$
\textcolor{gray}{1 – e^{x} \sim x}
$$

一、前言

在数学中，通过寻找不同的公式之间的相同点或者差异点，可以让我们对公式的记忆与理解更加深入，例如：

$$
1 + \tan^{2} \alpha = \textcolor{orange}{\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}}
$$

$$
(\tan \alpha)^{\prime} = \textcolor{orange}{\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}}
$$

即：

$$
1 + \tan^{2} \alpha \textcolor{red}{=} (\tan \alpha)^{\prime}
$$

一、问题描述

已知函数 $u$ $=$ $u(x)$, $v$ $=$ $v(x)$, 则针对 $(u v)^{\prime}$ 的求导计算公式如下：

$$
(u v)^{\prime} = u^{\prime} v + u v^{\prime}
$$

但是，由于一些原因，有时候我们可能会无法确定 $(u v)^{\prime}$ 到底是等于 $u^{\prime} v$ $\textcolor{orange}{+}$ $u v^{\prime}$ 还是等于 $u^{\prime} v$ $\textcolor{red}{-}$ $u v^{\prime}$

一、题目

$$
\Bigg[ \int_{x}^{y} f(x+y – t) \mathrm{d} t \Bigg]^{\prime}_{x} = ?
$$

$$
\Bigg[ \int_{x}^{y} f(x+y – t) \mathrm{d} t \Bigg]^{\prime}_{y} = ?
$$

补充资料：
[1]. 多种形式的变限积分求导方法总结.

一、题目

$\textcolor{orange}{\sin [2 \arcsin y]}$ $=$ $?$

一、题目

$$
\cos (\arcsin y) = ?
$$

一、题目

$$
\int \cos^{2} t \mathrm{d} t = ?
$$

已知，当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时：

$$
(1+x)^{a} – 1 \sim ax
$$