总结：拐点本质上是二阶导的正负性发生改变的点，这个点可能是二阶导等于零的点，也可能是二阶导不存在的点。
继续阅读“通过二阶导函数和一阶导函数的函数图像判断原函数拐点的个数”标签： 考研数学二
在有界区间上，原函数有界导函数不一定有界，导函数有界原函数一定有界——在无界区间上，一阶导函数有界原函数也可能无界
题目 01
以下命题中正确的是哪个？
(A) 若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续, 则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界.
(B) 若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续, 则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界.
(C) 若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界, 则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界.
(D) 若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界, 则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界.
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继续阅读“在有界区间上，原函数有界导函数不一定有界，导函数有界原函数一定有界——在无界区间上，一阶导函数有界原函数也可能无界”曲率半径是曲率的倒数
一、题目
曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t),\end{array}\right.$ $(a > 0)$ 在参数 $t = \frac{\pi}{2}$ 对应点处的曲率 $k = ?$
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继续阅读“曲率半径是曲率的倒数”函数单调增加（没说“严格单调增加”）则一阶导大于等于零而不是仅仅大于零
一、题目
已知，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有定义, 则下述命题中正确的是哪个？
(A) 若 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$, 则 $x_{0}$ 一定不是 $f(x)$ 的极值点.
(B) 若 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极值, 则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$.
(C) 若 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$, 则 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点坐标.
(D) 若 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导且单调增加, 则对一切 $x \in(-\infty,+\infty)$, 都有 $f^{\prime}(x)>0$.
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继续阅读“函数单调增加（没说“严格单调增加”）则一阶导大于等于零而不是仅仅大于零”一阶导和二阶导的正负并不是判断一个点是否是极值点和拐点的根本办法
一、题目
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2-\cos x, & x \leqslant 0 \\ \sqrt{x}+1, & x>0\end{array}\right.$, 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点吗？$(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点吗？
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继续阅读“一阶导和二阶导的正负并不是判断一个点是否是极值点和拐点的根本办法”趋于“0 正”也算是大于零
一、题目
已知 $f(x)$ 具有二阶连续导数, 且 $f^{\prime}(1)=0, \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{(x-1)^{2}}=\frac{1}{2}$, 则以下说法中正确的是哪个？
(A) $f(1)$ 是 $f(x)$ 的极大值.
(B) $f(1)$ 是 $f(x)$ 的极小值.
(C) $f(1)$ 不是 $f(x)$ 的极值, 并且 $(1, f(1))$ 不是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标.
(D) $(1, f(1))$ 是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标.
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继续阅读“趋于“0 正”也算是大于零”这样的式子你见过吗：无论分母大于零还是小于零，分式整体都大于零
一、题目
已知 $f(x)$ 对一切 $x \in(-\infty,+\infty)$ 满足方程 $(x-1) f^{\prime \prime}(x)$ $+$ $2(x-1)\left[f^{\prime}(x)\right]^{3}=$ $1-\mathrm{e}^{1-x}$, 且 $f(x)$ 在 $x=a(a \neq 1)$ 处 $f^{\prime}(a)=0$, 则 $x=a$ 时 $f(x)$ 取得极值吗？如果取得极值，是极大值还是极小值？
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继续阅读“这样的式子你见过吗：无论分母大于零还是小于零，分式整体都大于零”一阶导大于零处原函数是“凹”的
一、题目
已知 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 可导, 且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)>0$, 则存在 $\delta>0$, 使得：
(A) $f(x)$ 在 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ 单调上升.
(B) $f(x)>f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right), x \neq x_{0}$.
(C) $f(x)>f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$.
(D) $f(x)<f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$.
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继续阅读“一阶导大于零处原函数是“凹”的”复合函数的可导性是外层函数可导性的子集
一、题目
已知 $f(0)=0$, 则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x^{2}\right)}{x^{2}}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导的充要条件吗？
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继续阅读“复合函数的可导性是外层函数可导性的子集”一点处的导函数值和区间上的导函数计算方式不一样，但都是导数
一、题目
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{g(x)-\mathrm{e}^{-x}}{x}, & x \neq 0 \\ 0, \quad x=0\end{array}\right.$, 其中 $g(x)$ 二阶连续可导, 且 $g(0)=1$, $g^{\prime}(0)=-1$, 则 $f^{\prime}(0)=?$ $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续吗？
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继续阅读“一点处的导函数值和区间上的导函数计算方式不一样，但都是导数”低阶无穷小乘以高阶无穷大等于无穷大，高阶无穷小乘以低阶无穷大等于 0，同阶无穷小和无穷大相乘等于 1
一、题目
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\mathrm{e}^{\frac{1}{x^{2}-1}}, & |x|<1 \\ x^{4}-b x^{2}+c, & |x| \geqslant 1\end{array}\right.$ 可导，则 $(b, c)=?$
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继续阅读“低阶无穷小乘以高阶无穷大等于无穷大，高阶无穷小乘以低阶无穷大等于 0，同阶无穷小和无穷大相乘等于 1”间断点只是一点处的情况，并不能决定一个函数是否是偶函数
一、前言 
在本文中，我们将通过研究如下函数，来说明“间断点并不能决定一个函数是否是偶函数”这一结论。
$$
f(x) = e^{\frac{1}{x^{2} – 1}}
$$
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继续阅读“间断点只是一点处的情况，并不能决定一个函数是否是偶函数”都连续的函数复合出的函数一定连续
一、题目
以下函数 $f[g(x)]$ 以 $x=0$ 为第二类间断点的是哪个？
(A) $f(u)=\ln \left(1+u^{2}\right), g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin ^{2} x+(x+1)^{2}, & x \leqslant 0, \\ x^{2}+1, & x>0 .\end{array}\right.$
(B) $f(u)=\left\{\begin{array}{ll}1-u, & u \leqslant 0, \\ u^{2}+1, & u>0,\end{array}, g(x)=2 \cos x-1\right.$.
(C) $f(u)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln \left(1-u^{2}\right)}{u} \sin \frac{1}{u}, & u<0, \\ 1-\cos \sqrt{u}, & u \geqslant 0,\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x<0, \\ x+\frac{\pi^{2}}{4}, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.\right.$.
(D) $f(u)=\mathrm{e}^{u^{2}}+1, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}, & x<0, \\ 0, & x=0, \\ \sin \frac{1}{x}, & x>0 .\end{array}\right.$
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继续阅读“都连续的函数复合出的函数一定连续”无界函数：只要有一个过程无界就是无界函数，无界函数一定有至少一个过程是无界的
一、题目
已知 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 连续,则 “ $\exists x_{n} \in[a,+\infty)$ 有 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ 且 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\infty$ ”是 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 无界的
(A) 既非充分又非必要条件.
(B) 必要非充分条件.
(C) 充要条件.
(D) 充分非必要条件.
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继续阅读“无界函数：只要有一个过程无界就是无界函数，无界函数一定有至少一个过程是无界的”加绝对值不会产生间断点——绝对值倾向于弥合间断点
一、题目
请问，$f(x)$ 在 $x_{0}$ 点连续” 是 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 点连续的
(A) 充分条件，但不是必要条件.
(B) 必要条件，但不是充分条件.
(C) 充分必要条件.
(D) 既不是充分，也不是必要条件.
难度评级：
继续阅读“加绝对值不会产生间断点——绝对值倾向于弥合间断点”