标签： 考研数学二

题目

已知函数 $y=y(x)$ 满足微分方程 $x^2+y^2{y}^{‘}=1-y^{‘}$, 且 $y(2)=0$, 求 $y=y(x)$ 的极大值与极小值.

题目

求极限：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\int }_1^x[t^2(e^{\frac{1}{t}}-1)-t]dt}{x^2\ln (1+\frac{1}{x})}.$$

题目

设曲线 $L$ 的方程为 $y=\frac{1}{4}{x}^2–\frac{1}{2}\ln x$ $(1⩽x⩽e)$.

$(\mathrm{Ⅰ})$ 求 $L$ 的弧长；

$(\mathrm{Ⅱ})$ 设 $D$ 是由曲线 $L$, 直线 $x=1$, $x=e$ 及 $x$ 轴所围平面图形，求 $D$ 的形心的横坐标.

题目

设函数 $f(x)=\ln x+\frac{1}{x}$.

$(\mathrm{Ⅰ})$ 求 $f(x)$ 的最小值；

$(\mathrm{Ⅱ})$ 设数列 $x_n$ 满足 $\ln x_n+\frac{1}{x_{n+1}}<1$. 证明 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$ 存在，并求此极限。

题目

求曲线 $x^3-xy+y^3=1$ $(x⩾0,y⩾0)$ 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

一、题目

设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1)=1$. 证明：

$(\mathrm{Ⅰ})$ 存在 $\xi \in (0,1)$, 使得 $f^{‘}(\xi )=1$;

$(\mathrm{Ⅱ})$ 存在 $\eta \in (-1,1)$, 使得 $f^{”}(\eta )+f^{‘}(\eta )=1$.

题目

设平面区域 $D$ 由直线 $x=3y$, $y=3x$ 与 $x+y=8$ 围成。计算 ${\iint }_D{x}^{2}dxdy.$

题目

设 $D$ 是由曲线 $y=x^{\frac{1}{3}}$, 直线 $x=a$ $(a>0)$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形，$V_x$, $V_y$ 分别是 $D$ 绕 $x$ 轴，$y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 $V_y=10V_x$, 求 $a$ 的值。

题目

当 $x\to 0$ 时，$1-\cos x\cdot \cos 2x\cdot \cos 3x$ 与 $a{x}^n$ 为等价无穷小，求 $n$ 与 $a$ 的值。