一、题目
已知 $b$ $>$ $a$ $>$ $0$, 请证明：
$$
\frac { \ln b – \ln a } { b – a } > \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }
$$
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继续阅读“构造函数的另一种思路：把两个未知中的其中一个看作函数自变量”构造函数的另一种思路：把两个未知中的其中一个看作函数自变量
一、题目
标签： 易错题
有些式子虽然带着 “f”, 但有可能要看作常数处理
一、题目
已知，对于函数 $f(x)$, 其在 $x = a$ 点处的二阶导 $f ^ { \prime \prime } ( a )$ 存在，在 $x = a$ 处的一阶导 $f ^ { \prime } ( a ) \neq 0$, 则：
$$
\begin{aligned}
& I = \\ \\
& \lim _ { x \rightarrow a } \left[ \frac { 1 } { f ( x ) – f ( a ) } – \frac { 1 } { f ^ { \prime } ( a ) ( x – a ) } \right] = ?
\end{aligned}
$$
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继续阅读“有些式子虽然带着 “f”, 但有可能要看作常数处理”做变限积分题的时候一定要摆脱思维定势
一、题目
已知，函数 $f ( x )$ 连续，$f ( 0 )$ $=$ $0$, $f ^ { \prime } ( 0 )$ $=$ $0$, $f ^ { \prime \prime } ( 0 )$ $\neq$ $0$, 则：
$$
I = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \int _ { 0 } ^ { x } t f ( x – t ) \mathrm { d } t } { x \int _ { 0 } ^ { x } f ( x – t ) \mathrm { d } t } =?
$$
Note
关于思维定势的分析，可以查阅荒原之梦考研数学的原创文章：《思维定势：让我们既爱又恨》
zhaokaifeng.com
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继续阅读“做变限积分题的时候一定要摆脱思维定势”看似高深的题目，用的也是最朴素的基本方法
一、题目
已知，函数 $f ( x )$ 是周期为 $2$ 的连续函数。请证明：
方程 $f ( x )$ $-$ $f ( x – 1 )$ $=$ $0$ 在任意一个长度为 $1$ 的闭区间 $[ a , a + 1 ]$ 上都至少有一个实根。
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继续阅读“看似高深的题目，用的也是最朴素的基本方法”这道题该提取 x 还是 -x 呢？
一、题目
$$
I = \lim _{ x \rightarrow – \infty } \frac { \sqrt { 4 x ^ { 2 } + x + 1 } + x + 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } + \sin x } } = ?
$$
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继续阅读“这道题该提取 x 还是 -x 呢？”如果用夹逼定理没思路，可以先展开求和符号
一、题目
已知 $u _ { n } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + i } }$, 则：
$$
\lim _ { n \rightarrow \infty } u _ { n } = ?
$$
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继续阅读“如果用夹逼定理没思路，可以先展开求和符号”无穷小乘以无穷小一定会产生更高阶的无穷小
一、题目
已知，当 $x \rightarrow x_0$ 时, $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为 $\left(x-x_0\right)$ 的同阶无穷小, 则下列说法正确的是哪一个？
(A) $f(x)$ $-$ $g(x)$ 一定是 $x$ $-$ $x_0$ 的同阶无穷小
(B) $f(x)$ $-$ $g(x)$ 一定是 $x$ $-$ $x_0$ 的高阶无穷小
(C) $f(x) \cdot g(x)$ 一定是 $x$ $-$ $x_0$ 的同阶无穷小
(D) $f(x) \cdot g(x)$ 一定是 $x$ $-$ $x_0$ 的高阶无穷小
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继续阅读“无穷小乘以无穷小一定会产生更高阶的无穷小”