一、题目
$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right)=?
$$
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继续阅读“等差数列和等比数列的前 n 项和公式你还记得吗？”标签： 高等数学练习题
求导一定要彻底，特别是对于两个式子相乘的情况
一、题目
已知，$I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{a x^{2}+b x+1-\mathrm{e}^{x^{2}-2 x}}{x^{2}}=2$, 则 $a = ?$, $b=?$
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继续阅读“求导一定要彻底，特别是对于两个式子相乘的情况”不能对幂指函数的局部使用无穷小相关定理
一、题目
$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{x}}=?
$$
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继续阅读“不能对幂指函数的局部使用无穷小相关定理”三角函数中的和差化积与积化和差公式也很重要
一、题目
$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{(1-\cos x) \sin ^{2} x} = ?
$$
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继续阅读“三角函数中的和差化积与积化和差公式也很重要”可以用 (a+b)(a-b) 去掉根号
一、题目
已知，$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2 x-\sqrt{\cos 2 x}}{x^{k}}=a \neq 0$, 则 $a = ?$, $k = ?$
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继续阅读“可以用 (a+b)(a-b) 去掉根号”复杂的式子先找共同点化简
一、题目
$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x \mathrm{e}^{x}\right)-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2} \mathrm{e}^{2 x}}}{x^{4}}=?
$$
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继续阅读“复杂的式子先找共同点化简”极限情况下对 e 的次幂要考虑清楚是正无穷还是负无穷
一、题目
$f(x)=\frac{\sin \pi x}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{(x-1)^{3}}}$, 则当 $x \rightarrow 1$ 时，$f(x)$ 的极限情况如何？
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继续阅读“极限情况下对 e 的次幂要考虑清楚是正无穷还是负无穷”套娃式题目怎么做？先“套”几个看看
一、题目
已知，$1<a \leqslant \mathrm{e}^{\frac{1}{e}}$, $x_{1}=a, x_{2}=a^{x_{1}}, \cdots, x_{n}=a^{x_{n-1}}, \cdots$, 则数列 $\{ x_{n} \}$ 增减性如何？有极限吗？
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继续阅读“套娃式题目怎么做？先“套”几个看看”二重积分的被积函数中含有根号怎么办？可以尝试改造积分区域实现对根号的去除
一、题目
已知，$D$ $=$ ${(x, y) \mid -1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2}$, 则 $I=\iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=?$
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继续阅读“二重积分的被积函数中含有根号怎么办？可以尝试改造积分区域实现对根号的去除”在二重积分中，分清当前哪个变量要被看做常数很重要
一、题目
已知，积分区域 $D$ 由曲线 $y=\ln x$ 以及直线 $x=2$, $y=0$ 围成，则 $\iint_{D} \frac{\mathrm{e}^{x y}}{x^{x}-1} \mathrm{~d} \sigma=?$
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继续阅读“在二重积分中，分清当前哪个变量要被看做常数很重要”如果积分区域关于 y=x 对称，那么调换被积函数中的 x 与 y 不会改变积分的值
一、题目
已知，积分区域 $D=\{ (x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant \mathrm{e}^{2} \}$, 则 $\iint_{D} x^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{~d} \sigma=?$
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继续阅读“如果积分区域关于 y=x 对称，那么调换被积函数中的 x 与 y 不会改变积分的值”无论是一元还是二元函数，只要连续一定可积：连续函数的定积分是一个定值
一、题目
已知，$f(x, y)$ 为连续函数，且 $f(x, y)$ $=$ $\frac{1}{\pi} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+y^{2}$, 则 $f(x, y)=?$
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继续阅读“无论是一元还是二元函数，只要连续一定可积：连续函数的定积分是一个定值”当二重积分的被积函数有根号有平方项的时候就可以常使用极坐标系求解
一、题目
已知，$D$ $=$ ${(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1}$, 则 $\iint_{D} \frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=?$
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虽然本题中的积分区域不是圆形，但是仍然可以像这道题一样转换到极坐标系求解。
继续阅读“当二重积分的被积函数有根号有平方项的时候就可以常使用极坐标系求解”当二重积分的积分区域是圆形时一般考虑用极坐标：当这个圆形区域的位置并不标准时，可以考虑平移代换
一、题目
已知，$D$ 为圆域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x+2 y$, 则 $\iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=?$
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继续阅读“当二重积分的积分区域是圆形时一般考虑用极坐标：当这个圆形区域的位置并不标准时，可以考虑平移代换”无穷项求和的解题方法：夹逼定理或者定积分的定义
一、题目
已知：
$$
I =
$$
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{2}-1}{\sqrt[n]{2 n+1}}\left(\int_{1}^{\frac{1}{2 n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y+\int_{1}^{\frac{3}{2 n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y+\cdots+\int_{1}^{\frac{2 n-1}{2 n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y\right)
$$
则 $I = ?$
难度评级：
继续阅读“无穷项求和的解题方法：夹逼定理或者定积分的定义”