一、题目
请证明下面的定积分的性质：
$$
\begin{aligned}
\int_{a}^{b} 1 \mathrm{~d} x = & \ b – a \\
\int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{~d} x = & \ k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$
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利用定积分的定义计算两个简单的定积分
一、题目
定积分的定义是考研数学中经常考察的一个内容。但是，在真正的考试题中，我们能遇到的要使用定积分的定义求解的题目，一般是不能用一般的积分公式计算的，这样的题目不利于我们从更多的角度把握用定积分的定义解题这一方法的全貌。
所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」将利用定积分的定义，给同学们演示对下面这两个比较简单的定积分进行求解的过程：
$$
\begin{aligned}
I_{1} = & \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x \\ \\
I_{2} = & \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$
难度评级：
继续阅读“利用定积分的定义计算两个简单的定积分”级数 $\lim_{n \to \infty}$ $\sum_{n = 1}^{n}$ $\mathrm{e}^{\frac{i}{n}}$ 求和怎么计算？
一、题目
$$
I = \lim_{n \to \infty} \sum_{n = 1}^{n} \mathrm{e}^{\frac{i}{n}} = ?
$$
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继续阅读“级数 $\lim_{n \to \infty}$ $\sum_{n = 1}^{n}$ $\mathrm{e}^{\frac{i}{n}}$ 求和怎么计算？”遇到比较绕的题目，最好的办法就是先将其翻译成纯粹的数学语言
一、题目
已知 $f(x)$ 的一个原函数为 $\frac{\cos x}{x}$, 则：
$$
I = \int x f ^{\prime} (x) \mathrm{~d} x
$$
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继续阅读“遇到比较绕的题目，最好的办法就是先将其翻译成纯粹的数学语言”收敛的数项级数的项会越来越小，但项越来越小的数项级数不一定收敛
一、题目
下面的数项级数是收敛还是发散？
$$
\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} + \cdots
$$
难度评级：
继续阅读“收敛的数项级数的项会越来越小，但项越来越小的数项级数不一定收敛”关于 $y$ $=$ $x$ 对称的二元函数的二阶偏导数也关于 $y$ $=$ $x$ 对称
一、题目
计算下面函数的二阶偏导数 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}}$ 和 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial y ^{2}}$:
$$
\begin{aligned}
⟬A⟭. \quad z(x, y) = \ & x ^{2} + y^{2} – 3 x^{4} y^{4} \\ \\
⟬B⟭. \quad z(x, y) = \ & \frac{x^{2} + y^{2}}{xy}
\end{aligned}
$$
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继续阅读“关于 $y$ $=$ $x$ 对称的二元函数的二阶偏导数也关于 $y$ $=$ $x$ 对称”对一般的对数函数求导的时候，通常可以先转为自然对数
一、题目
已知：
$$
y = \log_{5} \left( \frac{x}{1-x} \right)
$$
则：
$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = ?
$$
Tip
$y$ $=$ $\log_{5} \left( \frac{x}{1-x} \right)$ $\Leftrightarrow$ $y$ $=$ $\log_{5}^{\frac{x}{1-x}}$
zhaokaifeng.com
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继续阅读“对一般的对数函数求导的时候，通常可以先转为自然对数”求导去积分符号，积分去求导符号
一、题目
已知 $f(x)$ 为连续函数，且 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{ -f(t) } \mathrm{~d} t$, 则当 $n$ $\geqslant$ $2$ 时：
$$
f^{(n)}(0) = ?
$$
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继续阅读“求导去积分符号，积分去求导符号”这道题目看似很简单，但全身都是“坑”
一、题目
已知，函数 $f (x)$ 连续，且：
$$
\lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ \ln( 1+2x ) + x f(x)} {x^{2}} = 3
$$
则：
$$
\lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ 2+f(x) }{x} = ?
$$
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继续阅读“这道题目看似很简单，但全身都是“坑””封闭曲线的弧长不一定是周长
一、题目
已知 $0$ $\leqslant$ $\theta$ $\leqslant$ $3 \pi$, 且：
$$
r(\theta) = \left( \sin \frac{\theta}{3} \right) ^{3}
$$
则曲线 $r(\theta)$ 的弧长是多少？
有时候，曲线 $r(\theta)$ 的极坐标方程也写作：$r(\theta)$ $=$ $\sin ^{3} \frac{\theta}{3}$.
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继续阅读“封闭曲线的弧长不一定是周长”积分上限和积分下限相等的定积分一定等于零
一、题目
已知 $c > 0$ 为常数，且：
$$
f(x) = \int_{c ^{2}}^{x ^{2}} \frac{\sin k}{k} \mathrm{~d} k
$$
则：
$$
I = \int_{0}^{c} x f(x) \mathrm{~d} x
$$
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继续阅读“积分上限和积分下限相等的定积分一定等于零”一重积分的问题用二重积分求解
一、题目
已知 $y ^{\prime} (x)$ $=$ $\arctan (1 – x)^{2}$, $y(0)$ $=$ $1$, 则：
$$
I = \int_{0}^{1} y(x) \mathrm{~d} x = ?
$$
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继续阅读“一重积分的问题用二重积分求解”如果不能完全去掉根号，也要想办法把根号“挤”到分子上
一、题目
$$
\begin{aligned}
& I = \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } \left[ \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} + x + 1 } – \frac{ \ln \left( \mathrm{e}^{x} + x \right) }{x} \times \sqrt{x^{2} + x + 1 } \right] \\ \\
& = ?
\end{aligned}
$$
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继续阅读“如果不能完全去掉根号，也要想办法把根号“挤”到分子上”这道题你去几次根号可以解出来？
一、题目
$$
\begin{aligned}
I = \\ \\
& \int \frac{\ln x}{\sqrt{x ^{3} (1-x)}} \mathrm{~d} x \\ \\
& = ?
\end{aligned}
$$
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继续阅读“这道题你去几次根号可以解出来？”在计算的时候尽可能将除法转换为乘法：乘法比除法更方便计算
一、题目
已知，当 $x \rightarrow 0$ 时，$\frac{\cos x – 1}{1 – \sin x}$ $=$ $a x$ $+$ $b x ^{2}$ $+$ $c x ^{3}$ $+$ $o(x ^{3})$, 则：
$$
\begin{cases}
a = ? \\
b = ? \\
c = ?
\end{cases}
$$
难度评级：
继续阅读“在计算的时候尽可能将除法转换为乘法：乘法比除法更方便计算”