一、前言
一阶线性微分方程的求解公式一般都是用不定积分表示的，虽然这样的表达形式在很多情况下都适用，但在某些特殊情况下，我们则需要将公式中的部分不定积分更改为变限积分.
在本文中，「荒原之梦考研数学」将给同学们深入剖析一下将一阶线性微分方程中的部分不定积分写成变限积分的用途和原理，以及注意事项。
继续阅读“在一阶线性微分方程的求解公式中可以使用变限积分”标签： 高等数学练习题
通过代换简化微分方程：自变量代换
一、题目
利用代换 $x = \cos t$ $(0 < t < \pi)$ 将原微分方程 $(1-x^{2})y^{\prime \prime} – xy^{\prime} +y = 0$ 化简，并求出该微分方程满足 $y(0) = 1$, $y^{\prime}(0) = 2$ 的特解.
继续阅读“通过代换简化微分方程：自变量代换”
Tip
拓展 1：《通过代换简化微分方程：函数代换》
zhaokaifeng.com
拓展 2：《一点处函数值的多种表示形式》
通过代换简化微分方程：函数代换
一、题目
利用代换 $y$ $=$ $\frac{u}{\cos x}$ 将原方程 $y ^{\prime \prime} \cos x – 2y ^{\prime} \sin x + 3y \cos x$ $=$ $\mathrm{e}^{x}$ 化简，并求出原方程的通解 $y(x)$.
继续阅读“通过代换简化微分方程：函数代换”两个函数发生平移变换前后相乘所得函数相等性的分析
一、前言 
已知：
$$
\begin{aligned}
Z_{1}(x) & = f(x) \cdot g(x) \\ \\
Z_{2}(x) & = f(x) \cdot g(x – k)
\end{aligned}
$$
其中，$x$ 为函数 $Z_{1}$, $Z_{2}$, $f$ 和 $g$ 的自变量，$k$ 为任意实数.
从上面的式子可知，函数 $g(x – k)$ 是函数 $g(x)$ 沿着坐标轴的 $X$ 轴向左或者向右平移 $k$ 个单位的结果.
那么，在什么条件下，函数 $Z_{1}(x)$ 和函数 $Z_{2}(x)$ 会相等呢？
继续阅读“两个函数发生平移变换前后相乘所得函数相等性的分析”由变限积分得来的微分方程一般存在隐含的初值
一、题目
已知 $f(x)$ 为连续函数，且 $f(x)$ $=$ $\sin x – \int_{0}^{x} (x – t) f(t) \mathrm{~d} t$, 则 $f(x) = ?$
判断一个函数是否是奇函数的核心：原点处的函数值是否等于零
一、题目
已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x+y)=f(x)+f(y)$, 则 $f(x)$ 是（ ）
»A« 偶函数
»B« 奇函数
»C« 非奇非偶函数
»D« 不能确定
二、解析 
首先，由 $f(x+y)$ $=$ $f(x) + f(y)$, 可得：
$$
\begin{aligned}
& f(0) = f(0+0) = f(0)+f(0) = 2f(0) \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{lightgreen}{ f(0) = 0 }
\end{aligned}
$$
又因为：
$$
\begin{aligned}
& 0 = f(0) = f(x-x) = f[x+(-x)] = f(x) + f(-x) \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{lightgreen}{ f(-x) = -f(x) }
\end{aligned}
$$
综上可知，$f(x)$ 是奇函数，本题应选 »B«.
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题！
利用 $\mathrm{e}^{kx}$ 的求导特性凑原函数
题目
一、题目
设 $F(x) = f(x) g(x)$，其中函数 $f(x)$, $g(x)$ 在区间 $(-\infty, +\infty)$ 内满足以下条件：
$\textcolor{yellow}{f ^{\prime} (x) = g(x)}$，$\textcolor{yellow}{g ^{\prime} (x) = f(x)}$，$\textcolor{yellow}{f(0) = 0}$，$\textcolor{yellow}{f(x) + g(x) = 2 \mathrm{e}^{x}}$.
请解答下面的问题：
(Ⅰ) 求 $F(x)$ 所满足的一阶微分方程；
(Ⅱ) 求出 $F(x)$ 的表达式.
二、解析
第（Ⅰ）问
对 $F(x) = f(x)g(x)$ 求导，得：
$$
\textcolor{lightgreen}{
F ^{\prime} (x)=f ^{\prime} (x)g(x) + f(x)g ^{\prime} (x)
} \tag{1}
$$
又由题可知 $\textcolor{yellow}{f ^{\prime} (x) = g(x)}$，$\textcolor{yellow}{g ^{\prime} (x) = f(x)}$，且 $\textcolor{yellow}{f(x) + g(x) = 2 \mathrm{e}^{x}}$, 所以，上面的 $(1)$ 式可转化为：
$$
\begin{aligned}
\textcolor{lightgreen}{ F ^{\prime} (x) } & = g^{2}(x) + f^{2}(x) \\ \\
& =[f(x)+g(x)]^{2}-2f(x)g(x) \\ \\
& = \textcolor{lightgreen}{ 4 \mathrm{e}^{2x} – 2F(x) }
\end{aligned}
$$
于是可知，函数 $F(x)$ 所满足的一阶微分方程为：
$$
\textcolor{springgreen}{
F ^{\prime} (x) + 2F(x) = 4 \mathrm{e}^{2x}
} \tag{2}
$$
又由题目已知条件 $\textcolor{yellow}{ f(0) = 0 }$ 可知，该一阶微分方程得初始条件为：
$$
F(0) = f(0)g(0) = 0
$$
事实上，这里求出来得一阶微分方程是一个一阶线性微分方程。
第（Ⅱ）问
根据第（Ⅰ）问，我们得到了下面这个一阶微分方程：
$$
\textcolor{springgreen}{
F ^{\prime} (x) + 2F(x) = 4 \mathrm{e}^{2x}
} \tag{2}
$$
那么，如果要将 $(2)$ 式中的 $F ^{\prime} (x) + 2 F(x)$ 凑成 $f(x) F(x)$ 的形式，则 $f(x)$ 应该是多少呢？
观察可知，如果对 $f(x) F(x)$ 进行求导，则有：
$$
\textcolor{orange}{ \left[ f(x) F(x) \right] ^{\prime} = f(x) F ^{\prime} (x) + f ^{\prime} (x) F(x) } \tag{3}
$$
很显然，如果要根据上面的 $(3)$ 式来凑 $(2)$ 式，那么，就需要有：
$$
\textcolor{magenta}{ f ^{\prime} (x) = 2f(x) } \tag{4}
$$
在我们常见的函数中，只有底数为 $\mathrm{e}$ 的幂函数容易符合上面 $(4)$ 式的性质，例如：
$$
\begin{aligned}
& \begin{cases}
\left( \mathrm{e}^{kx} \right) ^{\prime} = k \mathrm{e}^{kx} \\ \\
\left( \mathrm{e}^{kx} \right) ^{\prime \prime} = k \cdot k \mathrm{e}^{kx}
\end{cases} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \begin{cases}
\left( \mathrm{e}^{2x} \right) ^{\prime} = 2 \mathrm{e}^{2x} \\ \\
\left( \mathrm{e}^{2x} \right) ^{\prime \prime} = 2 \cdot 2 \mathrm{e}^{2x}
\end{cases}
\end{aligned}
$$
所以，如果我们给 $F ^{\prime} (x) + 2F(x)$ 的每一项都乘上一个 $\mathrm{e}^{2x}$, 就会得到：
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{e}^{2x} \left[ F ^{\prime} (x) + 2F(x) \right] \\ \\
= \ & \mathrm{e}^{2x} F ^{\prime} (x) + 2 \mathrm{e}^{2x} F(x) \\ \\
= \ & \textcolor{lightgreen}{ \left[ \mathrm{e}^{2x} F(x) \right] ^{\prime} }
\end{aligned}
$$
既然上面的式子中出现了原函数 $F(x)$, 而且是一个带有求导符号的式子，我们就很容易进行积分运算写出原函数了，于是，我们在 $(2)$ 式的等号两端同时乘以 $\mathrm{e}^{2x}$, 得：
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{e}^{2x} \left[ \textcolor{springgreen}{F ^{\prime} (x) + 2F(x)} \right] = \mathrm{e}^{2x} \cdot \textcolor{springgreen}{ 4 \mathrm{e}^{2x} } \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \left[ \mathrm{e}^{2x} F(x) \right] ^{\prime} = 4 \mathrm{e}^{4x} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \int \left[ \mathrm{e}^{2x} F(x) \right] ^{\prime} \mathrm{~d} x = 4 \int \mathrm{e}^{4x} \mathrm{~d} x \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \mathrm{e}^{2x} F(x) = \int \mathrm{e}^{4x} \mathrm{~d} \left( 4x \right) \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \mathrm{e}^{2x} F(x) = \mathrm{e}^{4x} + C \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & F(x) = \frac{\mathrm{e}^{4x} + C}{\mathrm{e}^{2x}} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \ & \textcolor{lightgreen}{ F(x) = \mathrm{e}^{2x} + C \mathrm{e}^{-2x} }
\end{aligned}
$$
将 $F(0) = 0$ 代入上式，得：
$$
1 + C = 0 \leadsto \textcolor{lightgreen}{ C = -1 }
$$
综上可知：
$$
\textcolor{lightgreen}{
F(x) = \mathrm{e}^{2x} – \mathrm{e}^{-2x}
}
$$
当然，直接使用一阶线性微分方程的求解公式，也可以求解出 $F(x)$ 的表达式：
由前面的 $(2)$ 式，即 $F ^{\prime} (x) + 2 F(x) = 4 \mathrm{e}^{2x}$ 可得：
$$
\begin{aligned}
F(x) = & \ \left[ 4 \mathrm{e}^{2x} \cdot \mathrm{e}^{\int 2 \mathrm{~d} x} \mathrm{~d} x + C \right] \mathrm{e}^{- \int 2 \mathrm{~d} x} \\ \\
= & \ \left[ 4 \int \mathrm{e}^{2x} \cdot \mathrm{e}^{2x} \mathrm{~d} x + C \right] \mathrm{e}^{-2x} \\ \\
= & \ \left[ 4 \int \mathrm{e}^{4x} \mathrm{~d} x + C \right] \mathrm{e}^{-2x} \\ \\
= & \ \left[ \int \mathrm{e}^{4x} \mathrm{~d} \left( 4x \right) + C \right] \mathrm{e}^{-2x} \\ \\
= & \ \left[ \mathrm{e}^{4x} + C \right] \mathrm{e}^{-2x} \\ \\
= & \ \mathrm{e}^{2x} + C \mathrm{e}^{-2x} \\ \\
\leadsto & \ \textcolor{gray}{F(0) = 0} \\ \\
= & \ \mathrm{e}^{2x} – \mathrm{e}^{-2x}
\end{aligned}
$$
高等数学
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容，图文并茂，计算过程清晰严谨。
线性代数
以独特的视角解析线性代数，让繁复的知识变得直观明了。
特别专题
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充，使所学知识更加连贯坚实。
让考场上没有难做的数学题！
配平分子分母的时候，可以直接用具体的极限值
一、题目
$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} – \sqrt{1 + \sin x}}{x^{2} – x \ln (1+x)} = ?
$$
做复合函数逆复合运算的时候，该不该用换元法？
逆复合运算
我们知道，如果将 $g \left( x \right) = x^{2} + 16$ 代入到函数 $f \left( x \right)$ 中，就得到了复合函数 $f \left[ g \left( x \right) \right]$.
如果要给函数 $f \left[ g \left( x \right) \right]$ 换一个表达上的形式，则可以写成：
$$
\textcolor{lightgreen}{
f \left( x^{2} + 1 \right)
}
$$
上面的过程是将函数 $f(x)$ 变成函数 $f \left( x^{2} + 1 \right)$, 我们称之为“ 复 合 运 算 ”；如果是将函数 $f \left( x^{2} + 1 \right)$ 变成函数 $f \left( x \right)$, 就是本文所说的“ 逆 复 合 运 算 ”。
在本文中，我们讨论的重点是，在对形如 “$f \left( x^{2} + 1 \right)$” 这样的复合函数进行逆复合运算的时候，什么情况下适合用 换 元 法 ，什么情况下不适合用 换 元 法 。
继续阅读“做复合函数逆复合运算的时候，该不该用换元法？”要计算 $\infty-\infty$ 型未定式，一般要先转为 $\infty / \infty$ 或 $0/0$ 型未定式
一、题目
$$
\begin{aligned}
I_{1} & = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{1}{\ln (x + \sqrt{1+x^{2}})} – \frac{1}{\ln (1+x)} \right) \\ \\
I_{2} & = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{1}{x^{2}} – \frac{1}{\sin^{2} x} \right)
\end{aligned}
$$
容易想的思路不容易做，容易做的思路不容易想
一、题目
$$
I = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\arctan x}{x} \right)^{\frac{1}{x^{2}}} = ?
$$
微分方程的通解一定要写成标准的函数形式吗？
一、题目
微分方程 $y \mathrm {~d} x + \left( x^{2} – 3x \right) \mathrm{~d} y = 0$ 的通解为？
难度评级：
继续阅读“微分方程的通解一定要写成标准的函数形式吗？”在求解过程中被“隐”去的量，其实是不需要求解的
一、题目
若 $y=y(x)$ 为二阶常系数微分方程 $\frac{1}{2} y^{\prime \prime} + p y^{\prime} + q y$ $=$ $\mathrm{e}^{16x}$, 且满足初始条件 $y(0)$ $=$ $y^{\prime} (0)$ $=$ $0$ 的特解，则：
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x^{2})}{y(x)} = ?
$$
用函数图象看明白函数极值与数列极限之间的关系
一、题目
已知，函数 $f(x)$ $=$ $\ln x + \frac{1}{x}$.
(Ⅰ) 求 $f(x)$ 的最小值;
(Ⅱ) 设数列 ${ x_{n} }$ 满足条件 $\ln x_{n} + \frac{1}{x_{n+1}} < 1$, 请证明 $\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}$ 存在, 并求该极限值.
难度评级：
继续阅读“用函数图象看明白函数极值与数列极限之间的关系”对数可以将“指数因子”变成“乘数因子”
一、题目
已知，数列 ${ x_{n} }$ 满足: $x_{1} > 0$, $x_{n}\mathrm{e}^{x_{n+1}}$ $=$ $\mathrm{e}^{x_{n}}-1$, 其中 $n$ $=$ $1, 2, 3, \cdots$.
请证明数列 ${ x_{n} }$ 收敛，并求解 $\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}$.
难度评级：
继续阅读“对数可以将“指数因子”变成“乘数因子””