标签： 高等数学基础

一、题目

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2^n}{n!}=?$$

难度评级：

继续阅读“计算极限 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\frac{2^n}{n!}$”

一、前言

常考的高阶导数一般都是有规律的，掌握下面这些高阶导数公式，可以让我们在求解涉及高阶导数的题目时更加灵活有效。

继续阅读“常用的高阶导数公式汇总”

一、题目

已知：

$$y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$$

求 $y^{\prime }$.

难度评级：

继续阅读“已知 $y$ $=$ $\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$, 求 $y^{\prime }$”

一、前言

熟练掌握本文中的基本极限，不仅可以提升解题速度，还可以增加对无穷量的理解，使得解题过程更加灵活。

继续阅读“常用的基本极限汇总”

一、题目

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{1}{n^2+1^2}+\frac{2}{n^2+2^2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n^2})=?$$

难度评级：

继续阅读“计算极限 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $($ $\frac{1}{n^2+1^2}$ $+$ $\frac{2}{n^2+2^2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{n}{n^2+n^2}$ $)$”

一、题目

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_m^n}=?$$

其中 $a_i$ $>$ $0$ $($ $i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $m$ $)$.

难度评级：

继续阅读“计算极限 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_m^n}$”

一、题目

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1+x^n+(\frac{x^2}{2}{)}^n}=?$$

其中，$x$ $>$ $0$.

对变量取值范围的讨论是解答本题的重点，详情见下文……

难度评级：

继续阅读“计算极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\sqrt[n]{1+x^n+(\frac{x^2}{2}{)}^n}$”

一、题目

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{1+2^n+3^n}=?$$

本题可以使用夹逼准则解出，下文中会介绍使用夹逼准则时一个重要的放缩原则和思路。

难度评级：

继续阅读“计算极限 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\sqrt[n]{1+2^n+3^n}$”

一、题目

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(x+\sqrt{1+x^2}{)}^{\frac{1}{x}}=?$$

难度评级：

继续阅读“计算极限 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}$ $($ $x$ $+$ $\sqrt{1+x^2}$ ${)}^{\frac{1}{x}}$”

一、前言

在高等数学中，有些公式在本质上是有联系的，如果我们在掌握了这种联系的基础上理解这些公式，就能记忆得更加牢固。

在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）就利用公式间的关联关系分析如何记忆 $e^x$ $-$ $1$ 和 $a^x$ $-$ $1$ 的等价无穷小。

继续阅读“将 $e^x$ $-$ $1$ 和 $a^x$ $-$ $1$ 的等价无穷小结合记忆”

一、题目

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3}{)}^n=?$$

其中，$a$ $>$ $0$, $b$ $>$ $0$, $c$ $>$ $0$.

难度评级：

继续阅读“计算极限 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $($ $\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3}$ ${)}^n$”

一、题目

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^{n+1}}{(n+1{)}^n}\cdot \sin \frac{1}{n}=?$$

难度评级：

继续阅读“计算极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $\frac{n^{n+1}}{(n+1{)}^n}$ $\cdot$ $\sin \frac{1}{n}$”

一、题目

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[\frac{x^2}{(x–a)(x+b)}{]}^x=?$$

难度评级：

继续阅读“计算极限 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $[$ $\frac{x^2}{(x–a)(x+b)}$ ${]}^x$”

一、前言

数列极限的定义中是存在“潜规则”的，明白这些潜规则可以让我们对数列极限的理解更加明了。

继续阅读“数列极限的定义中的“潜规则””

一、题目

证明下面的函数是奇函数：

$$y=\frac{e^x–1}{e^x+1}$$

难度评级：

继续阅读“如何证明 $y$ $=$ $\frac{e^x–1}{e^x+1}$ 是奇函数？”