月度归档： 2023 年 11 月

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵，则 $m<n$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解的充要条件吗？

难度评级：

继续阅读“当系数矩阵不可逆的时候，一定有非零解”

一、题目

若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(2,1,1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,-2,-1)^{\mathrm{\top}}$ 都是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解，则系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 应为：

(A) $\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -1\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & -5 \\ -1 & -3 & 5\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{ccc}1 & -4 & 2 \\ 1 & 2 & -1\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{lll}1 & -3 & 1 \\ 2 & -6 & 2\end{array}\right]$

难度评级：

继续阅读“这样的题目不要直接逐一代入，先挖掘一下题目隐含的条件”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 阶矩阵, $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的转置, 若 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\eta_{t}}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的基础解系, 则秩 $r(\boldsymbol{A})=?$

难度评级：

继续阅读“看清楚，这里说的不是原矩阵而是转置矩阵！”

一、题目

若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,-1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,0)^{\mathrm{\top}}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系, 那么下列向量中，属于 $A x=0$ 解向量的是哪个？

(A) $(1,-1,3)^{\mathrm{\top}}$

(B) $(2,1,-3)^{\mathrm{\top}}$

(C) $(2,2,-5)^{\mathrm{\top}}$

(D) $(2,-2,6)^{\mathrm{\top}}$

难度评级：

继续阅读“如何通过方程组的基础解系验证一个向量是否是该方程组的解向量？”

一、题目

齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+2 x_{3}-x_{4}=0 \\ x_{1}+x_{2} + \ \ x_{4}=0\end{array}\right.$ 的基础解系是哪个？

(A) $(-2,2,1,0)^{\mathrm{\top}},(1,2,0,1)^{\mathrm{\top}}$

(B) $(-1,0,1,1)^{\mathrm{\top}},(2,0,-2,-2)^{\mathrm{\top}}$

(C) $(-2,2,1,0)^{\mathrm{\top}},(2,2,-3,-4)^{\mathrm{\top}}$

(D) $(1,-2,0,1)^{\mathrm{\top}}$

难度评级：

继续阅读“如何求解一个齐次线性方程组的基础解系？”

一、题目

已知齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{r}
x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3}=0 \\
2 x_{1}-x_{2}+a x_{3}=0 \\
3 x_{1}+x_{2}-x_{3}=0
\end{array}\right.$, 有无穷多解, 则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“系数矩阵不满秩的齐次线性方程组有无穷多解”

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的两个不同的解，那么，下面仍是线性方程组 $A x=b$ 特解的有哪些？

$$
\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}, \quad 3 \boldsymbol{\alpha}_{1}-2 \boldsymbol{\alpha}_{2}, \quad \frac{1}{3}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}\right), \quad \frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right)
$$

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继续阅读“怎么判断经过四则运算之后的解还是不是原线性方程组的解？”

一、题目

已知，某五元齐次线性方程组经高斯消元，系数矩阵化为了 $\left[\begin{array}{ccccc}1 & -2 & 2 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0\end{array}\right]$, 则选取的自由变量不能是以下哪个组合？

(A) $x_{2}, x_{5}$

(B) $x_{1}, x_{5}$

(C) $x_{3}, x_{5}$

(D) $x_{2}, x_{3}$

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继续阅读“非自由未知数的选取并不一定是固定的”

一、题目

若四维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关, 且向量 $\boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{4}$, $\boldsymbol{\beta}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}$, $\boldsymbol{\beta}_{4}=\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$, $\boldsymbol{\beta}_{5}=2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$. 则 $r\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{5}\right)=?$

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继续阅读“如何建立两个向量组之间的联系？”

一、题目

$a=1$ 是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1, a)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1, a, 1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(a, 1,1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(-2,-2, a+$ $6)^{\mathrm{\top}}$ 的秩为 2 的充要条件吗？

难度评级：

继续阅读“什么样的是充分条件？什么样的是必要条件？”

一、题目

若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 的秩为 $r$, 则下列命题中正确的是哪个？

(A) 向量组中任意 $r-1$ 个向量都线性无关

(B) 向量组中任意 $r$ 个向量都线性无关

(C) 向量组中任意 $r-1$ 个向量都线性相关

(D) 向量组中任意 $r+1$ 个向量都线性相关

难度评级：

继续阅读“秩对于向量组意味着什么？”

一、前言

抽象矩阵是线性代数中的学习和研究中一种很重要的范畴。在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）将针对考研数学线性代数中抽象矩阵的运算规律和性质做一个汇总与分析。

继续阅读“线性代数抽象矩阵（块矩阵）运算规则（性质）汇总”

一、题目

已知，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 可由向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}$ 线性表出, 则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关是 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}$ 线性无关的什么条件？

难度评级：

继续阅读“借助“盒子塌缩”理论形象化理解向量组的线性相关与无关”

一、题目

已知，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关,向量 $\boldsymbol{\beta}_{1}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示, 向量 $\boldsymbol{\beta}_{2}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则以下说法正确的是哪个？

(A) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{1}$ 线性无关

(B) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性无关

(C) $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性相关

(D) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}+\boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性相关

难度评级：

继续阅读“一个向量和一个向量组无关，则这个向量和这个向量组中的任意个向量都无关”

一、题目

已知，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关, $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性相关, 则下列说法正确的是哪个？

(A) $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表示.

(B) $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表示.

(C) $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表示.

(D) $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示.

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继续阅读“线性无关的向量组内部各个向量都是线性无关的”