月度归档： 2023 年 9 月

一、题目

已知，$\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2 x-\sqrt{\cos 2 x}}{x^{k}}=a \neq 0$, 则 $a = ?$, $k = ?$

难度评级：

继续阅读“可以用 (a+b)(a-b) 去掉根号”

一、题目

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x \mathrm{e}^{x}\right)-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2} \mathrm{e}^{2 x}}}{x^{4}}=?
$$

难度评级：

继续阅读“复杂的式子先找共同点化简”

一、题目

$f(x)=\frac{\sin \pi x}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{(x-1)^{3}}}$, 则当 $x \rightarrow 1$ 时，$f(x)$ 的极限情况如何？

难度评级：

继续阅读“极限情况下对 e 的次幂要考虑清楚是正无穷还是负无穷”

一、题目

已知，$1<a \leqslant \mathrm{e}^{\frac{1}{e}}$, $x_{1}=a, x_{2}=a^{x_{1}}, \cdots, x_{n}=a^{x_{n-1}}, \cdots$, 则数列 $\{ x_{n} \}$ 增减性如何？有极限吗？

难度评级：

继续阅读“套娃式题目怎么做？先“套”几个看看”

一、题目

已知，$D$ $=$ ${(x, y) \mid -1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2}$, 则 $I=\iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=?$

难度评级：

继续阅读“二重积分的被积函数中含有根号怎么办？可以尝试改造积分区域实现对根号的去除”

一、题目

已知，积分区域 $D$ 由曲线 $y=\ln x$ 以及直线 $x=2$, $y=0$ 围成，则 $\iint_{D} \frac{\mathrm{e}^{x y}}{x^{x}-1} \mathrm{~d} \sigma=?$

难度评级：

继续阅读“在二重积分中，分清当前哪个变量要被看做常数很重要”

一、题目

已知，积分区域 $D=\{ (x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant \mathrm{e}^{2} \}$, 则 $\iint_{D} x^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{~d} \sigma=?$

难度评级：

继续阅读“如果积分区域关于 y=x 对称，那么调换被积函数中的 x 与 y 不会改变积分的值”

一、题目

已知，$f(x, y)$ 为连续函数，且 $f(x, y)$ $=$ $\frac{1}{\pi} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+y^{2}$, 则 $f(x, y)=?$

难度评级：

继续阅读“无论是一元还是二元函数，只要连续一定可积：连续函数的定积分是一个定值”

一、题目

已知，$D$ $=$ ${(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1}$, 则 $\iint_{D} \frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=?$

难度评级：

虽然本题中的积分区域不是圆形，但是仍然可以像这道题一样转换到极坐标系求解。

继续阅读“当二重积分的被积函数有根号有平方项的时候就可以常使用极坐标系求解”

一、题目

已知，$D$ 为圆域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x+2 y$, 则 $\iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=?$

难度评级：

继续阅读“当二重积分的积分区域是圆形时一般考虑用极坐标：当这个圆形区域的位置并不标准时，可以考虑平移代换”

一、题目

已知：

$$
I =
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{2}-1}{\sqrt[n]{2 n+1}}\left(\int_{1}^{\frac{1}{2 n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y+\int_{1}^{\frac{3}{2 n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y+\cdots+\int_{1}^{\frac{2 n-1}{2 n}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y\right)
$$

则 $I = ?$

难度评级：

继续阅读“无穷项求和的解题方法：夹逼定理或者定积分的定义”

一、题目

$$
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{1}{\cos \theta}} r^{2} \mathrm{~d} r+\int_{1}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{2-x^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=?
$$

难度评级：

继续阅读“二重积分先定积分区域：但二重积分的值可不是积分区域的面积”

一、题目

已知，$y=y(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 可导，在 $\forall x \in(0,+\infty)$ 处的增量 $\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)$ 满 足 $\Delta y(1+\Delta y)=\frac{y \Delta x}{1+x}+\alpha$, 其中 $\alpha$ 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时是与 $\Delta x$ 等价的无穷小。又 $y(0)=1$, 则 $y(x)=?$

难度评级：

继续阅读“在改变量无穷小的情况下，函数的增量除以自变量的增量就等于一点处的导数”

一、题目

已知，$y=y(x)$ 二阶可导，且 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(4-y) y^{\beta}$ $(\beta>0)$, 若 $y=y(x)$ 的一个拐点是 $\left(x_{0}\right.$, $3)$, 则 $\beta=?$

难度评级：

继续阅读“有时候 y(x) 也是个复合函数：是不是复合函数主要看对谁求导”

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}-1}=2$, 则曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的法线方程是什么？

难度评级：

继续阅读“连续函数在一点处的极限值就是该函数在该点处的函数值”