已知，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 可由向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}$ 线性表出, 则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关是 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}$ 线性无关的什么条件？
(A) 充分必要条件
(B) 充分不必要条件
(C) 必要不充分条件
(D) 既不充分也不必要条件
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继续阅读“借助“盒子塌缩”理论形象化理解向量组的线性相关与无关”已知，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关,向量 $\boldsymbol{\beta}_{1}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示, 向量 $\boldsymbol{\beta}_{2}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则以下说法正确的是哪个？
(A) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{1}$ 线性无关
(B) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性无关
(C) $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性相关
(D) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}+\boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性相关
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继续阅读“一个向量和一个向量组无关，则这个向量和这个向量组中的任意个向量都无关”已知，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关, $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性相关, 则下列说法正确的是哪个？
(A) $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表示.
(B) $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表示.
(C) $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性表示.
(D) $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 必可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示.
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继续阅读“线性无关的向量组内部各个向量都是线性无关的”已知 $\boldsymbol{\beta}_{1}=(4,-2, a)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=(7, b, 4)^{\mathrm{\top}}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,3)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(-2,1,-1)^{\mathrm{\top}}$ 线性表示, 则 $a = ?$, $b = ?$
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继续阅读“通过向量组线性相关的性质求解未知数”已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,0,5)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\beta}$ 为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 的线性组合, 则 $\boldsymbol{\beta}$ 可能是哪一个？
(A) $(0,1,0)^{\mathrm{\top}}$.
(B) $(1,3,5)^{\mathrm{\top}}$.
(C) $(5,0,1)^{\mathrm{\top}}$.
(D) $(0,1,5)^{\mathrm{\top}}$.
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继续阅读“在向量的线性组合中，任何数乘以零元素都得零”若 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$, $\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)$, $\boldsymbol{C}=\left(\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}\right)$ 均为三阶矩阵, 且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{C}$, 则下列正确的是哪个？
(A) 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关, 则向量组 $\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}$ 线性无关
(B) 若向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 线性无关, 则向量组 $\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}$ 线性无关
(C) 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关, 则向量组 $\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}$ 线性相关
(D) 若向量组 $\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}$ 线性相关, 则向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关
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当向量组 $B$ 线性相关的时候，A 选项错误。
当向量组 $A$ 线性相关的时候，B 选项错误。
当向量组 $A$ 线性无关，向量组 $B$ 线性相关的时候，D 选项错误。
综上可知，只有 C 选项正确。
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已知 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right]$, $\boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n}\right]$, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_{n}\right]$ 都是 $n$ 阶矩阵。
记向量组 ( I ) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$; (II) $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n}$; (III) $\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_{n}$
若向量组 ( III ) 线性相关, 则以下说法正确的是哪个？
(A) (Ⅰ) , (Ⅱ) 均线性相关
(B) (Ⅰ) 或 (Ⅱ) 中至少有一个线性相关
(C) (Ⅰ) 一定线性相关
(D) (Ⅱ) 一定线性相关
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继续阅读“对向量组是否线性相关的判断可以转化为对行列式是否等于零的判断”已知，向量组（Ⅰ）：$\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$; 向量组（II）：$\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}, \boldsymbol{\alpha}_{s+1}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s+t}$, 则正确命題是哪个？
(A) ( I ) 无关 $\Rightarrow$ ( II ) 无关
(B) ( I ) 无关 $\Rightarrow$ ( II ) 相关
(C) ( II ) 相关 $\Rightarrow$ ( I ) 相关
(D) ( II ) 无关 $\Rightarrow$ ( I ) 无关
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继续阅读“向量组：少的相关多的一定相关，多的无关少的一定无关”已知，向量组 (Ⅰ): $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(a_{11}, a_{12}, a_{13}\right)$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(a_{21}, a_{21}, a_{23}\right)$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(a_{31}, a_{32}, a_{33}\right)$; 向量组 (II) : $\boldsymbol{\beta}_{1}=\left(a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14}\right)$, $\boldsymbol{\beta}_{2}=\left(a_{21}, a_{21}, a_{23}, a_{24}\right)$, $\boldsymbol{\beta}=\left(a_{31}, a_{32}, a_{33}, a_{34}\right)$, 则正确的命題是哪个？
(A) (I) 相关 $\Rightarrow$ (II) 相关
(B) (I) 无关 $\Rightarrow$ (II) 无关
(C) (II) 无关 $\Rightarrow$ (I) 无关
(D) (II) 相关 $\Rightarrow$ (I) 无关
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继续阅读“向量：短无关则长无关，长相关则短相关”向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关的充分必要条件是哪个？
(A) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 均不是零向量
(B) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$ 中任意 $s-1$ 个向量都线性无关
(C) 向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}, \boldsymbol{\alpha}_{s+1}$ 线性无关
(D) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$, 中每一个向量都不能由其余 $s-1$ 个向量线性表出
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继续阅读“向量线性无关的充要条件：任一个向量都不能由其余向量线性表出”设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$, 则 $|\boldsymbol{A}|=0$ 的充分必要条件是：
(A) $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性相关
(B) $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性无关
(C) $\boldsymbol{A}$ 中每一个列向量都可由其他列向量线性表示
(D) $\boldsymbol{A}$ 中一定有 2 个列向量坐标成比例
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继续阅读“行列式等于零的充要条件是什么？”设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ c_{1}\end{array}\right]$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ c_{2}\end{array}\right]$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ c_{3}\end{array}\right]$, $\boldsymbol{\alpha}_{4}=\left[\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ c_{4}\end{array}\right]$, 其中 $c_{1}, c_{2}$, $c_{3}, c_{4}$ 为任意常数, 则下列向量组线性相关的是哪个？
(A) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$
(B) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$
(C) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$
(D) $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$
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继续阅读“只要行列式有两行或者两列成比例，则组成该行列式的行或者列向量之间都是线性相关的”已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(1, 1, t)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1, t, 1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(t, 1,1)^{\mathrm{\top}}\right.$ 线性相关, 而 $\boldsymbol{\beta}_{1}=(1,3, 2)^{\mathrm{\top}}$, $\boldsymbol{\beta}_{2}=(2,7, t+4)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\beta}_{3}=(0, t+2,3)^{\mathrm{\top}}$ 线性无关, 则 $t = ?$
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继续阅读“线性相关的行列式等于零，线性无关的行列式不等于零”当向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$, 线性相关时,使等式 $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s}=\mathbf{0}$
成立的常数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k$, 是
(A) 某些全不为 0 的常数
(B) 任意一组不全为 0 的常数
(C) 唯-一组不全为 0 的常数
(D) 无穷多组特定的不全为 0 的常数
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继续阅读“使线性无关的向量组和等于零的系数有无数组”已知 $A$ 是任意一个 $n$ 阶矩阵，则以下哪些矩阵是对称的？
(1) $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$; (2) $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$; (3) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$; (4) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{*}$;
(5) $\boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A}$
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继续阅读“下面哪些矩阵是对称的？”
