线性无关的向量组「乘以」线性相关的向量组会得到一个线性相关的向量组

一、题目

若 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$, $\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)$, $\boldsymbol{C}=\left(\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}\right)$ 均为三阶矩阵, 且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{C}$, 则下列正确的是哪个？

(A) 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关, 则向量组 $\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}$ 线性无关

(B) 若向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 线性无关, 则向量组 $\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}$ 线性无关

(C) 若向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关, 则向量组 $\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}$ 线性相关

(D) 若向量组 $\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \boldsymbol{\gamma}_{3}$ 线性相关, 则向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关

难度评级：

二、解析

当向量组 $B$ 线性相关的时候，A 选项错误。

当向量组 $A$ 线性相关的时候，B 选项错误。

当向量组 $A$ 线性无关，向量组 $B$ 线性相关的时候，D 选项错误。

综上可知，只有 C 选项正确。

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