如果要使积分 $I$ $=$ $\int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } }$ $\mathrm { ~ d } x$ 收敛，则 $p$ 需要满足以下哪个条件？
(A). $1$ $<$ $p$ $<$ $2$
(C). $p$ $\leqslant$ $0$
(B). $1$ $\leqslant$ $p$ $\leqslant 2$
(D). $p$ $<$ $-1$
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继续阅读“对复杂的反常积分敛散性的判别，可以适当的画一个思路图”下面式子的极限存在吗？如果极限存在，则极限等于多少？
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I = \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { x } { \sqrt { 1 – \cos ( a x ) } }
$$
其中，$0$ $<$ $| a |$ $<$ $\pi$
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继续阅读“趋于“零”就要考虑趋于“零负”和趋于“零正”两种情况”$$
I = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { \sqrt [ 3 ] { 2 x ^ { 3 } + 3 } } { \sqrt { 3 x ^ { 2 } – 2 } } = ?
$$
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继续阅读“趋于“无穷大”就要考虑趋于“负无穷大”和趋于“正无穷大”两种情况”已知 $b$ $>$ $a$ $>$ $0$, 请证明：
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\frac { \ln b – \ln a } { b – a } > \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }
$$
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继续阅读“构造函数的另一种思路：把两个未知中的其中一个看作函数自变量”已知 $a$ $<$ $b$, 请证明：
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\frac { 1 } { b } > \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }
$$
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继续阅读“一个常用不等式的不常见证明：1/b > 2a/(a^2 + b^2)”已知，对于函数 $f(x)$, 其在 $x = a$ 点处的二阶导 $f ^ { \prime \prime } ( a )$ 存在，在 $x = a$ 处的一阶导 $f ^ { \prime } ( a ) \neq 0$, 则：
$$
\begin{aligned}
& I = \\ \\
& \lim _ { x \rightarrow a } \left[ \frac { 1 } { f ( x ) – f ( a ) } – \frac { 1 } { f ^ { \prime } ( a ) ( x – a ) } \right] = ?
\end{aligned}
$$
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继续阅读“有些式子虽然带着 “f”, 但有可能要看作常数处理”已知，函数 $f ( x )$ 连续，$f ( 0 )$ $=$ $0$, $f ^ { \prime } ( 0 )$ $=$ $0$, $f ^ { \prime \prime } ( 0 )$ $\neq$ $0$, 则：
$$
I = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \int _ { 0 } ^ { x } t f ( x – t ) \mathrm { d } t } { x \int _ { 0 } ^ { x } f ( x – t ) \mathrm { d } t } =?
$$
Note
关于思维定势的分析，可以查阅荒原之梦考研数学的原创文章：《思维定势：让我们既爱又恨》
zhaokaifeng.com
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继续阅读“做变限积分题的时候一定要摆脱思维定势”已知，函数 $f ( x )$ 是周期为 $2$ 的连续函数。请证明：
方程 $f ( x )$ $-$ $f ( x – 1 )$ $=$ $0$ 在任意一个长度为 $1$ 的闭区间 $[ a , a + 1 ]$ 上都至少有一个实根。
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继续阅读“看似高深的题目，用的也是最朴素的基本方法”$$
I = \lim _{ x \rightarrow – \infty } \frac { \sqrt { 4 x ^ { 2 } + x + 1 } + x + 1 } { \sqrt { x ^ { 2 } + \sin x } } = ?
$$
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继续阅读“这道题该提取 x 还是 -x 呢？”已知 $u _ { n } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \sqrt { n ^ { 2 } + i } }$, 则：
$$
\lim _ { n \rightarrow \infty } u _ { n } = ?
$$
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继续阅读“如果用夹逼定理没思路，可以先展开求和符号”已知 $\alpha$ $=$ $[ 1 , 3 , 2 ] ^ { \mathrm { \top } }$, $\beta$ $=$ $[ 1 , – 1 , 2 ] ^ { \mathrm { \top } }$, 且矩阵 $A$ 与 $\alpha \beta ^ { \mathrm { \top } }$ 相似，那么 $( 2 A + E ) ^ { * }$ 的特征值是多少？
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继续阅读“伴随矩阵的特征值与原矩阵的特征值之间有什么关系？”
我们知道，涉及无穷小量的除法运算可以用洛必达等方法辅助解决，涉及无穷小量的乘法运算也有很多辅助解决的方法，但由于加减运算没有乘除运算对无穷量的作用力度强，所以，有时候我们突然遇到无穷小量之间的的减法运算（如果是加法运算可以转换为减法运算）时，可能会觉得无从下手。
其实，减法运算也有很多等价无穷小的运算公式，荒原之梦考研数学在这里给同学们做一个汇总。
继续阅读“减法运算中常用的等价无穷小公式汇总”“对任意的 $\varepsilon \in ( 0 , 2 )$, 总存在正整数 $N$, 当 $n \geqslant N$ 时，恒有 $\left| x _{ n } – a \right|$ $\leqslant 3$ $\varepsilon$” 是数列 $\left\{ x _{ n } \right\}$ 收敛于 $a$ 的什么条件？
(A)充分非必要条件
(B)必要非充分条件
(C)充分必要条件
(D)非充分非必要条件
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继续阅读“有些表述看上去像是定义的一个特例，其实确实定义的等价表述”