分类： 考研数学

前言

要知道什么时候无穷大减无穷大等于零，也就是什么时候 $\infty – \infty = 0$ 就要知道什么是等价无穷大、高阶无穷大和低阶无穷大。

其实，通过类比等价无穷小，只要知道了什么是等价无穷大，就可以理解什么是等价无穷大、高阶无穷大和低阶无穷大了。关于等价无穷大，可以参考下面这篇文章：

《[高数]等价无穷大》

继续阅读“[高数]什么时候无穷大减无穷大等于零”

前言

在计算极限的时候，如果能够适当且合理地使用等价无穷大，通常能节省不少时间和计算步骤。本文将简要介绍等价无穷大及其性质，以作参考。

关于等价无穷大的常用替换公式，可以参考这篇文章。

继续阅读“什么是等价无穷大？”

前言

三角函数和反三角函数之间有时需要相互转化，本文将给出一个我对这个转化过程的理解，以作参考。

继续阅读“[高数]关于三角函数和反三角函数的互相转化”

前言

本文将对摆线做一个介绍并列举一些摆线的基本性质。

Note

摆线是数学一、数学二、数学三都可能考察的知识点。

zhaokaifeng.com

继续阅读“[高数]摆线及其性质”

前言

在计算积分的时候，有时会需要使用三角函数代换（三角代换）的方式去掉二次根号。本文将给出一种扩展之后的三角函数代换公式，能够适用于更多的需要使用三角函数代换的计算场景，以作参考。

继续阅读“[高数]扩展后的三角函数代换公式”

前言

在解题过程中，注意使用【变量的对称性】所隐含的性质可以提高解题速度。本文将对此进行一个说明，以作参考。

继续阅读“[高数]使用变量的对称性快速写出有关结论”

前言

本文记录了关于拆分 $\sqrt{ab}$ 和 $\sqrt{\frac{a}{b}}$ 的两个小结论，以作参考。

继续阅读“[高数]关于拆分根号的两个小结论”

前言

在对有理函数进行积分的时候，我们常常需要对 $ax^{2} + bx + c$ 形式的方程进行拆分，以便将其写成部分和的形式或者做其他变形以计算积分。当 $ax^{2} + bx + c$ 是一个有理方程的时候，例如当其的两个实数解分别是 $x_{1} = aa$ 和 $x_{2} = bb$ 的时候，我们可以把 $ax^{2} + bx + c$ 写成 $(x-aa)(x-bb)$ 的形式，之后再利用如下式子求出 $A$ 和 $B$ 就完成对原有理函数 $\frac{cx + d}{ax^{2} + bx + c}$ 的拆分：

$$
\frac{A}{(x-aa)} + \frac{B}{(x-bb)} = \frac{cx + d}{ax^{2} + bx + c}
$$

注意：上式中的 $A$ 和 $B$ 可以包含未知数，只要能使上式成立即可，不一定都是常数。

但是，上述方法在应对分母是无理方程的有理函数积分时就失效了，因为无理方程没有实数解，无法拆分成 $(x-aa)(x-bb)$ 的形式。

其实，无理方程中一般都是“包含着”有理方程的，如果我们能把其中的有理方程“提取”出来，同样可以完成对这类包含无理方程的有理函数的积分。

本文将通过一个例子对此进行分析，以作参考。

注意：本文中提到的“有理方程”和“无理方程”都是【一元二次方程】。

继续阅读“[高数]举例说明如何从无理方程中分解出有理方程”

前言

考研数学题中有时会需要计算三次方程的解，这时候，我们可以先将三次方程【分解】成更低阶的一次方程和二次方程的乘积，之后利用相关公式计算。本文将通过一个例子展示这种求解方法，以作参考。

继续阅读“[高数]举例说明特殊情况下如何计算三次方程的解”

前言

本文要讨论的是：极限环境下 “$0$ 正” 除以 “$0$ 负” 等于多少?

也就是讨论：

$$
\lim \frac{0^{+}}{0^{-}} = ?
$$

继续阅读“[高数]极限环境下 “0 正” 除以 “0 负” 等于多少?”

一、前言

无穷大 $(\infty)$ 与正无穷大 $(+ \infty)$ 和负无穷大 $(- \infty)$ 之间的关系可能会让人感到困惑进而影响高数题目的求解。本文将对此做一个分析说明，以作参考。

继续阅读“关于 $\infty$、$+\infty$、$- \infty$ 和无穷小之间关系的分析”

前言

本文将通过一种形象化的方法阐述对二重积分中值定理的理解，以帮助记忆和运用该定理。

继续阅读“[高数]形象化理解二重积分中值定理”