分类： 线性代数

判断 $i$ 重特征值对应的线性无关的特征向量的个数有具体的公式。例如，当 $\lambda_{a}$ 为 $i$ 重特征值时，则 $\lambda_{a} E – A$ 的秩，即 $r(\lambda_{a} E – A)$ 就是 $\lambda_{a}$ 对应的线性无关的特征向量的个数。

下面是我对 $r(\lambda_{a} E – A)$ 之所以能够表示 $\lambda_{a}$ 对应的线性无关的向量的个数的原理的理解。

下面的理解可能不够严谨，做出这样的理解只是为了方便记忆公式，仅供参考。

继续阅读“如何判断 i 重特征值对应的线性无关的特征向量的个数”

• 对分块矩阵进行运算时，把每个分块都看作矩阵中单个的元素处理即可。

解释：

如果把矩阵中的每个元素都看作一个分块，这样做是不会改变矩阵的运算法则的，因此，当分块中不止一个元素时，矩阵的运算法则也不会改变。

• 对由分块矩阵构成的大矩阵进行转置的时候，不仅要在分块的程度上进行转置，而且每个分块本身也要进行转置。

解释：

如果把一个矩阵的整体看成一个分块，即一个矩阵只有一个分块，这样做是不会改变矩阵的运算法则的，自然也不会改变矩阵的转置法则。当一个矩阵中只有一个分块时，根据上面的第一条性质，这个分块可以看作是一个单独的元素，一个单独的元素转置与否都没有形式上的改变（对于单个的元素而言，其位置由第一行第一列变成第一列第一行之后，元素位置实际上未发生改变），之后，为了遵循矩阵的转置法则，这个分块内部的元素必须也进行一次转置才可以。

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一、名词解释

1. 行 满 秩

矩阵有效的行数，也就是线性无关的行的个数。

2. 列 满 秩

矩阵有效的列数，也就是线性无关的列的个数。

3. 满 秩

一个矩阵行满秩或者列满秩（满足一个即可）就称为满秩矩阵。

这里需要注意的是，并不是只有方阵才能满秩。因为“满秩”说的是一个矩阵中最大的非零 $n$ 阶方阵的阶数 $n$, 很显然，只要一个矩阵行满秩（列满秩），那么这个矩阵内部就不会存在阶数大于其行数（列数）的方阵了，自然也不会存在阶数大于其行数（列数）的非零方阵。

4. 行 秩 $\textcolor{red}{=}$ 列 秩 $\textcolor{red}{=}$ 秩

无论一个行列式是否是行满秩或列满秩矩阵，都有如下性质：

行秩 $=$ 列秩 $=$ 秩。

对此我们可以这样理解：由于转置并不改变矩阵的秩，因此必然有“行秩 $=$ 列秩”。

二、性质

若 $A$ 【行】满秩，则：

$$
R(BA)=R(B).
$$

若 $A$ 【列】满秩，则：

$$
R(AB)=R(B).
$$

继续阅读“[线代]行满秩列满秩与满秩在矩阵乘法中的几条性质”

注意：以下讨论的矩阵 $A$ 与 $A^{*}$ 都是方阵。

$n$ 阶矩阵 $A$ 的秩与其伴随矩阵 $A^{*}$ 的秩之间的关系如下：

①

如果 $A$ 满秩，即 $r(A)=n$, 则 $A^{*}$ 也满秩，即 $r(A^{*})=n$;

②

如果 $r(A)=n-1$, 则 $r(A^{*})=1$;

③

如果 $r(A) < n-1$, 则 $r(A^{*})=0$.

也就是说，随着原矩阵秩的减小，其伴随矩阵的秩会出现“断崖式”的快速下降。

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