线性代数 – 第 42 页

题目

设 $3$ 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $2$, $-2$, $1$, $B=A^{2} – A + E$, 其中 $E$ 为 $3$ 阶单位矩阵，则行列式 $|B|=?$

题目

设二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$, 在正交变换 $X=PY$ 下的标准形为 $2y_{1}^{2} + y_{2}^{2} – y_{3}^{2}$. 其中 $P=(e_{1}, e_{2}, e_{3})$. 若 $Q=(e_{1}, -e_{3}, e_{2})$, 则 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 在正交变换 $X=QY$ 下的标准形为 $?$

$$
A. 2y_{1}^{2} – y_{2}^{2} + y_{3}^{2}
$$

$$
B. 2y_{1}^{2} + y_{2}^{2} – y_{3}^{2}
$$

$$
C. 2y_{1}^{2} – y_{2}^{2} – y_{3}^{2}
$$

$$
D. 2y_{1}^{2} + y_{2}^{2} + y_{3}^{2}
$$

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题目

设矩阵 $A=\begin{bmatrix} 1& 1& 1\\ 1& 2& a\\ 1& 4& a^{2}\end{bmatrix}$, $b=\begin{bmatrix}1\\ d\\ d^{2}\end{bmatrix}$, 若集合 $\Omega = \{1,2\}$, 则线性方程组 $AX=b$ 有无穷多解的充分必要条件为 $?$

$$A. a \notin \Omega , d \notin \Omega$$

$$B. a \notin \Omega , d \in \Omega$$

$$C. a \in \Omega , d \notin \Omega$$

$$D. a \in \Omega , d \in \Omega$$

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一、题目

编号：A2016214

设矩阵 $\begin{bmatrix} a& -1& -1\\ -1& a& -1\\ -1& -1& a\end{bmatrix}$ 与 $\begin{bmatrix} 1& 1& 0\\ 0& -1& 1\\ 1& 0& 1\end{bmatrix}$ 等价，则 $a = ?$

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题目

编号：A2016208

设二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ $=$ $a(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2})$ $+$ $2x_{1}x_{2}$ $+$ $2x_{1}x_{3}$ $+$ $2x_{2}x_{3}$ 的正、负惯性指数分别为 $1$, $2$, 则 $?$

$$A. a > 1$$

$$B. a < -2$$

$$C. -2 < a < 1$$

$$D. a=1 或 a = -2$$

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题目

编号：A2016207

设 $A$, $B$ 为可逆矩阵，且 $A$ 与 $B$ 相似，则下列结论错误的是 $?$

$$
A. A^{\top} 与 B^{\top} 相似
$$

$$
B. A^{-1} 与 B^{-1} 相似
$$

$$
C. A + A^{\top} 与 B + B^{\top} 相似
$$

$$
D. A + A^{-1} 与 B + B^{-1} 相似
$$

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一、题目

设矩阵 $A=\begin{bmatrix}
4 & 1 & -2 \\
1 & 2 & a \\
3 & 1 & -1
\end{bmatrix}$ 的一个特征向量为 $\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
2
\end{bmatrix}$, 则 $a=?$

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一、题目

已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$, $\boldsymbol{B}$ $=$ $\begin{bmatrix}
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$, $\boldsymbol{C}$ $=$ $\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix}$, 则 $?$

A. $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似，$\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似

B. $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似，$\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 不相似

C. $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 不相似，$\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似

D. $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 不相似，$\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 不相似

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如何判断 i 重特征值对应的线性无关的特征向量的个数

判断 $i$ 重特征值对应的线性无关的特征向量的个数有具体的公式。例如，当 $\lambda_{a}$ 为 $i$ 重特征值时，则 $\lambda_{a} E – A$ 的秩，即 $r(\lambda_{a} E – A)$ 就是 $\lambda_{a}$ 对应的线性无关的特征向量的个数。

下面是我对 $r(\lambda_{a} E – A)$ 之所以能够表示 $\lambda_{a}$ 对应的线性无关的向量的个数的原理的理解。

下面的理解可能不够严谨，做出这样的理解只是为了方便记忆公式，仅供参考。

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2017年考研数二第07题解析：可逆矩阵、相似对角化

一、题目

设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵，$P$ $=$ $(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$ 为可逆矩阵，使得 $P^{-1}AP$ $=$ $\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}$, 则 $A(\alpha_{1}$ $+$ $\alpha_{2}$ $+$ $\alpha_{3})$ $=$ $?$

⟨A⟩. $\alpha_{1} + \alpha_{2}$

⟨C⟩. $\alpha_{2} + \alpha_{3}$

⟨B⟩. $\alpha_{2} + 2 \alpha_{3}$

⟨D⟩. $\alpha_{1} + 2 \alpha_{2}$

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2018年考研数二真题解析汇总

2018 年研究生入学考试数学二试卷中的题目与解析。

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2018年考研数二第14题解析

题目

设 $A$ 为三阶矩阵，$a_{1},a_{2},a_{3}$ 是线性无关的向量组。若 $A \alpha_{1} = 2 \alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}$, $A \alpha_{2} = \alpha_{2} + 2 \alpha_{3}$, $A \alpha_{3} = – \alpha_{2} + \alpha_{3}$, 则 $A$ 的实特征值为 $?$

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