编号：A2016208
设二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ $=$ $a(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2})$ $+$ $2x_{1}x_{2}$ $+$ $2x_{1}x_{3}$ $+$ $2x_{2}x_{3}$ 的正、负惯性指数分别为 $1$, $2$, 则 $?$
$$A. a > 1$$
$$B. a < -2$$
$$C. -2 < a < 1$$
$$D. a=1 或 a = -2$$
继续阅读“2016年考研数二第08题解析”编号：A2016207
设 $A$, $B$ 为可逆矩阵，且 $A$ 与 $B$ 相似，则下列结论错误的是 $?$
$$
A. A^{\top} 与 B^{\top} 相似
$$
$$
B. A^{-1} 与 B^{-1} 相似
$$
$$
C. A + A^{\top} 与 B + B^{\top} 相似
$$
$$
D. A + A^{-1} 与 B + B^{-1} 相似
$$
设矩阵 $A=\begin{bmatrix}
4 & 1 & -2 \\
1 & 2 & a \\
3 & 1 & -1
\end{bmatrix}$ 的一个特征向量为 $\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
2
\end{bmatrix}$, 则 $a=?$
已知矩阵 $\boldsymbol{A}$ $=$ $\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$, $\boldsymbol{B}$ $=$ $\begin{bmatrix}
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$, $\boldsymbol{C}$ $=$ $\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix}$, 则 $?$
A. $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似，$\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似
B. $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似，$\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 不相似
C. $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 不相似，$\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 相似
D. $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 不相似，$\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{C}$ 不相似
判断 $i$ 重特征值对应的线性无关的特征向量的个数有具体的公式。例如，当 $\lambda_{a}$ 为 $i$ 重特征值时，则 $\lambda_{a} E – A$ 的秩，即 $r(\lambda_{a} E – A)$ 就是 $\lambda_{a}$ 对应的线性无关的特征向量的个数。
下面是我对 $r(\lambda_{a} E – A)$ 之所以能够表示 $\lambda_{a}$ 对应的线性无关的向量的个数的原理的理解。
下面的理解可能不够严谨，做出这样的理解只是为了方便记忆公式，仅供参考。
继续阅读“如何判断 i 重特征值对应的线性无关的特征向量的个数”设 $A$ 为 $3$ 阶矩阵，$P$ $=$ $(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$ 为可逆矩阵，使得 $P^{-1}AP$ $=$ $\begin{bmatrix}
0& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 2
\end{bmatrix}$, 则 $A(\alpha_{1}$ $+$ $\alpha_{2}$ $+$ $\alpha_{3})$ $=$ $?$
⟨A⟩. $\alpha_{1} + \alpha_{2}$
⟨C⟩. $\alpha_{2} + \alpha_{3}$
⟨B⟩. $\alpha_{2} + 2 \alpha_{3}$
⟨D⟩. $\alpha_{1} + 2 \alpha_{2}$
设 $A$ 为三阶矩阵，$a_{1},a_{2},a_{3}$ 是线性无关的向量组。若 $A \alpha_{1} = 2 \alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}$, $A \alpha_{2} = \alpha_{2} + 2 \alpha_{3}$, $A \alpha_{3} = – \alpha_{2} + \alpha_{3}$, 则 $A$ 的实特征值为 $?$
继续阅读“2018年考研数二第14题解析”解释：
如果把矩阵中的每个元素都看作一个分块，这样做是不会改变矩阵的运算法则的，因此，当分块中不止一个元素时，矩阵的运算法则也不会改变。
解释：
如果把一个矩阵的整体看成一个分块，即一个矩阵只有一个分块，这样做是不会改变矩阵的运算法则的，自然也不会改变矩阵的转置法则。当一个矩阵中只有一个分块时，根据上面的第一条性质，这个分块可以看作是一个单独的元素，一个单独的元素转置与否都没有形式上的改变（对于单个的元素而言，其位置由第一行第一列变成第一列第一行之后，元素位置实际上未发生改变），之后，为了遵循矩阵的转置法则，这个分块内部的元素必须也进行一次转置才可以。
EOF
设 $A$, $B$ 为 $n$ 阶矩阵，记 $r(X)$ 为矩阵 $X$ 的秩，$(X,Y)$ 表示分块矩阵，则 $?$
$$A. r(A,AB)=r(A)$$
$$B. r(A,BA)=r(A)$$
$$C. r(A,B)= \max \{ r(A), r(B) \}$$
$$D. r(A,B) = r(A^{\top}, B^{\top})$$
继续阅读“2018年考研数二第08题解析”矩阵有效的行数，也就是线性无关的行的个数。
矩阵有效的列数，也就是线性无关的列的个数。
一个矩阵行满秩或者列满秩（满足一个即可）就称为满秩矩阵。
这里需要注意的是，并不是只有方阵才能满秩。因为“满秩”说的是一个矩阵中最大的非零 $n$ 阶方阵的阶数 $n$, 很显然，只要一个矩阵行满秩（列满秩），那么这个矩阵内部就不会存在阶数大于其行数（列数）的方阵了，自然也不会存在阶数大于其行数（列数）的非零方阵。
无论一个行列式是否是行满秩或列满秩矩阵，都有如下性质：
行秩 $=$ 列秩 $=$ 秩。
对此我们可以这样理解：由于转置并不改变矩阵的秩，因此必然有“行秩 $=$ 列秩”。
若 $A$ 【行】满秩，则：
$$
R(BA)=R(B).
$$
若 $A$ 【列】满秩，则：
$$
R(AB)=R(B).
$$
下列矩阵中，与矩阵 $\begin{bmatrix} 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$ 相似的为（ ）
⟨A⟩. $\begin{bmatrix} 1& 1& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$
⟨B⟩. $\begin{bmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$
⟨C⟩. $\begin{bmatrix} 1& 1& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$
⟨D⟩. $\begin{bmatrix} 1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$
设 $A$ 是 $3$ 阶实对称矩阵，$E$ 是 $3$ 阶单位矩阵，若 $A^{2} + A = 2E$, 且 $|A|=4$, 则二次型 $A^{T}AX$ 的规范型为 $?$
$\textcolor{Orange}{[A]}$ $y_{1}^{2}$ $+$ $y_{2}^{2}$ $+$ $y_{3}^{2}$
$\textcolor{Orange}{[B]}$ $y_{1}^{2}$ $+$ $y_{2}^{2}$ $-$ $y_{3}^{2}$
$\textcolor{Orange}{[C]}$ $y_{1}^{2}$ $-$ $y_{2}^{2}$ $-$ $y_{3}^{2}$
$\textcolor{Orange}{[D]}$ $-$ $y_{1}^{2}$ $-$ $y_{2}^{2}$ $-$ $y_{3}^{2}$
