分类： 线性代数

一、名词解释

1. 行 满 秩

矩阵有效的行数，也就是线性无关的行的个数。

2. 列 满 秩

矩阵有效的列数，也就是线性无关的列的个数。

3. 满 秩

一个矩阵行满秩或者列满秩（满足一个即可）就称为满秩矩阵。

这里需要注意的是，并不是只有方阵才能满秩。因为“满秩”说的是一个矩阵中最大的非零 $n$ 阶方阵的阶数 $n$, 很显然，只要一个矩阵行满秩（列满秩），那么这个矩阵内部就不会存在阶数大于其行数（列数）的方阵了，自然也不会存在阶数大于其行数（列数）的非零方阵。

4. 行 秩 $=$ 列 秩 $=$ 秩

无论一个行列式是否是行满秩或列满秩矩阵，都有如下性质：

行秩 $=$ 列秩 $=$ 秩。

对此我们可以这样理解：由于转置并不改变矩阵的秩，因此必然有“行秩 $=$ 列秩”。

二、性质

若 $A$ 【行】满秩，则：

$$R(BA)=R(B).$$

若 $A$ 【列】满秩，则：

$$R(AB)=R(B).$$

继续阅读“[线代]行满秩列满秩与满秩在矩阵乘法中的几条性质”

注意：以下讨论的矩阵 $A$ 与 $A^{\ast }$ 都是方阵。

$n$ 阶矩阵 $A$ 的秩与其伴随矩阵 $A^{\ast }$ 的秩之间的关系如下：

①

如果 $A$ 满秩，即 $r(A)=n$, 则 $A^{\ast }$ 也满秩，即 $r(A^{\ast })=n$;

②

如果 $r(A)=n-1$, 则 $r(A^{\ast })=1$;

③

如果 $r(A)<n-1$, 则 $r(A^{\ast })=0$.

也就是说，随着原矩阵秩的减小，其伴随矩阵的秩会出现“断崖式”的快速下降。

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主题

由于行列式与矩阵同属于线性代数，形式上也极为相似，因此本文将列举行列式与矩阵的几点区别，防止在计算过程中发生混淆。

继续阅读“【行列式】和【矩阵】的区别汇总专辑”