一、前言 
在对高阶行列式进行计算的时候，其中一种计算方式就是“升阶”，也就是将原来的 $n$ 阶行列式升为 $n+1$ 阶行列式。
那么，什么样的行列式可以尝试升阶操作？怎么进行升阶操作？升阶之后该怎么进行接下来的计算呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」将就以上问题为同学们详细讲解。
继续阅读“投石问路：线性代数中的升阶法详解”分类： 线性代数
矩阵/行列式消 $0$ 的一个优化策略
一、前言
大部分时候，在对矩阵或者行列式进行运算的时候，我们都倾向于通过初等变换使得矩阵/行列式中产生更多的 $0$ 元素，或者说倾向于将矩阵/行列式中的非 $0$ 元素消为 $0$ 元素（在本文中，我们将这一类操作简称为“消 $0$”）。
那么，在消 $0$ 的时候，有什么注意事项呢？该采取什么样的策略，才能尽可能又快又多地消出来更多的 $0$ 元素呢？
在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细讲解。
继续阅读“矩阵/行列式消 $0$ 的一个优化策略”二阶矩阵的快速求逆公式
一、前言
求解逆矩阵是线性代数中的一个基本知识点。在考试时的时候，要求解的逆矩阵一般是二阶或者三阶的矩阵，在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们一个二阶矩阵的快速求逆公式以及该公式的记忆方法。
继续阅读“二阶矩阵的快速求逆公式”对行列式中系数的提取要以行或者列为单位进行
一、题目
已知：
$$
\begin{aligned}
D & = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix} \\ \\
D_{1} & = \begin{vmatrix}
2 a_{11} & 2 a_{12} & 2 a_{13} \\
2 a_{21} & 2 a_{22} & 2 a_{23} \\
2 a_{31} & 2 a_{32} & 2 a_{33}
\end{vmatrix}
\end{aligned}
$$
则：
$$
D_{1} = ?
$$
[A]. $2 D$
[C]. $2^{9} D$
[B]. $2^{3} D$
[D]. $2 \cdot 3 D$
借助函数或数列的思想研究向量的变化过程
一、题目
已知 $\boldsymbol{\alpha_{1}}$, $\boldsymbol{\alpha_{2}}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{s}$（其中 $s \leqslant n$）是一组 $n$ 维列向量，$\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵。如果：
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1} = \boldsymbol{\alpha}_{2}, \\
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2} = \boldsymbol{\alpha}_{3}, \\
& \cdots, \\
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s-1} = \boldsymbol{\alpha}_{s} \neq \mathbf{0}, \\
& \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{s} = \mathbf{0}
\end{aligned}
$$
请证明向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\cdots$, $\boldsymbol{\alpha}_{s}$ 线性无关。
难度评级：
继续阅读“借助函数或数列的思想研究向量的变化过程”计算“鸡爪型”行列式的思路：消去其中一“爪”
一、题目
$$
D = \begin{vmatrix}
\textcolor{orange}{a_{0}} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{\cdots} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{1} \\
\textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{a_{1}} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
\textcolor{orange}{1} & 0 & \textcolor{orange}{a_{2}} & \cdots & 0 & 0 \\
\textcolor{orange}{\vdots} & \vdots & \vdots & \textcolor{orange}{\ddots} & \vdots & \cdots \\
\textcolor{orange}{1} & 0 & 0 & \cdots & \textcolor{orange}{a_{n−1}} & 0 \\
\textcolor{orange}{1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & \textcolor{orange}{a_{n}}
\end{vmatrix} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“计算“鸡爪型”行列式的思路：消去其中一“爪””“两点确定一条直线”的思想在特例法中的应用
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助几何中“两点之间确定一条直线”的思想，帮助同学们理解什么时候可以使用特例法求解题目答案。
继续阅读““两点确定一条直线”的思想在特例法中的应用”乘法运算中的矩阵一般不可以“自由流动”，但单位矩阵可以
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵，且：
$$
\boldsymbol{A B} = \boldsymbol{E}
$$
则：
$$
\boldsymbol{A} \left[ \boldsymbol{E} – \boldsymbol{A} \left( \boldsymbol{E} + \boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{B}^{\top} \right)^{-1} \boldsymbol{B} \right] \boldsymbol{B} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“乘法运算中的矩阵一般不可以“自由流动”，但单位矩阵可以”乘以自己还和自己相等的矩阵就是在单位矩阵框架内秩互补的矩阵
一、题目
是 $n$ 阶方阵，且满足：
$$
\boldsymbol{A}^{2} = \boldsymbol{A}
$$
请证明：
$$
\mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{A} – \boldsymbol{E}) = n
$$
难度评级：
继续阅读“乘以自己还和自己相等的矩阵就是在单位矩阵框架内秩互补的矩阵”关于由 $\boldsymbol{AB}$ $=$ $\boldsymbol{O}$ 可得 $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $n$ 的一个简单证明方式
一、前言
在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们证明下面这个公式：
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{AB} = \boldsymbol{O} \\
\Leftrightarrow & \ \mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{B}) \leqslant n
\end{aligned}
$$
其中，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n \times n$ 阶方阵。
继续阅读“关于由 $\boldsymbol{AB}$ $=$ $\boldsymbol{O}$ 可得 $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{B})$ $\leqslant$ $n$ 的一个简单证明方式”关于 $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{E}$ $-$ $\boldsymbol{A})$ $\geqslant$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{E})$ 的一个简单证明
一、前言
在考研数学的线性代数科目中，我们有时候会遇到要使用下面这个公式的题目：
$$
\mathbf{r} (\boldsymbol{A}) + \mathbf{r} (\boldsymbol{E} – \boldsymbol{A}) \geqslant \mathbf{r} (\boldsymbol{E})
$$
事实上，往年的考研数学真题中也曾出现过要用该性质的题目。但是，同学们在使用这个性质的时候，可能会对上面这个不等式为什么成立产生疑问，在文本中，「荒原之梦考研数学」就给出一种简单的证明方式，帮助同学们解除疑惑。
继续阅读“关于 $\mathbf{r} (\boldsymbol{A})$ $+$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{E}$ $-$ $\boldsymbol{A})$ $\geqslant$ $\mathbf{r} (\boldsymbol{E})$ 的一个简单证明”非齐次线性方程组不同解向量的系数相加等于 1 时，相加所得的向量也是该方程的解
一、题目
已知 $\boldsymbol{\eta}_{1}$, $\boldsymbol{\eta}_{2}$, $\boldsymbol{\eta}_{3}$ 均是 $\boldsymbol{A x}$ $=$ $b$ 的解，若 $k_{1} \boldsymbol{\eta}_{1}$ $+$ $k_{2} \boldsymbol{\eta}_{2}$ $+$ $k_{3} \boldsymbol{\eta}_{3}$ 也是 $\boldsymbol{A x}$ $=$ $b$ 的解，则 $k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$ 应满足：
[A]. $k_{1}$ $+$ $k_{2}$ $+$ $k_{3}$ $=$ $1$
[B]. $k_{1}$ $+$ $k_{2}$ $+$ $k_{3}$ $=$ $3$
[C]. $k_{1}$ $\times$ $k_{2}$ $\times$ $k_{3}$ $=$ $1$
[D]. $k_{1}$ $=$ $1$ 且 $k_{2}$ $=$ $1$ 且 $k_{3}$ $=$ $1$
难度评级：
继续阅读“非齐次线性方程组不同解向量的系数相加等于 1 时，相加所得的向量也是该方程的解”不同的数字相减一定不得零，但相加就不一定了
一、题目
已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵，$r(\boldsymbol{A})$ $=$ $n-1$, $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} x$ $=$ $0$ 的两个不同的解，$k$ 是任意常数，则以下哪个选项一定是 $\boldsymbol{A} x$ $=$ $0$ 的通解？
[A]. $k \boldsymbol{\alpha}_{1}$
[B]. $k \boldsymbol{\alpha}_{2}$
[C]. $k (\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $+$ $\boldsymbol{\alpha}_{2} )$
[D]. $k (\boldsymbol{\alpha}_{1}$ $-$ $\boldsymbol{\alpha}_{2} )$
难度评级：
继续阅读“不同的数字相减一定不得零，但相加就不一定了”利用“对称初等变换”求解合同矩阵中的可逆矩阵 C
一、题目
已知：
$$
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$
$$
\boldsymbol{B} = \begin{bmatrix}
3 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$
求可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$, 使得下式成立：
$$
\boldsymbol{C}^{\top} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C} = \boldsymbol{B}
$$
难度评级：
继续阅读“利用“对称初等变换”求解合同矩阵中的可逆矩阵 C”对称矩阵/单位矩阵经“对称初等变换”可以生成互为转置矩阵的两个矩阵
一、前言
关于主对角线对称的矩阵，特别是单位矩阵具有很多的神奇的性质，在「荒原之梦考研数学」的《单位矩阵可以用来记录初等变换》一文中，我们学习了单位矩阵在“存储”和“写入”矩阵初等行变换和初等列变换上的能力。
在本文中，我们将学习单位矩阵和一般的对称矩阵在“对称初等变换”条件下自动生成其转置矩阵的特殊性质。
对 称 初 等 变 换 示 意 图
graph TD
O{O} --第 1 行与第 2 行的初等变换--> A1[A1];
O --第 1 列与第 2 列的初等变换--> B1[B1];
A1 --第 2 行与第 3 行的初等变换--> A2[A2];
B1 --第 2 列与第 3 列的初等变换--> B2[B2];
A2 --第 i 行与第 j 行的初等变换--> A[A];
B2 --第 i 列与第 j 列的初等变换--> B[B];
A --> C[A 和 B 互为转置矩阵];
B --> C;
继续阅读“对称矩阵/单位矩阵经“对称初等变换”可以生成互为转置矩阵的两个矩阵”