线性代数归档 - 第3页共41页 - 荒原之梦

2023年考研数二第22题解析：根据矩阵乘法凑出隐含的矩阵、矩阵的特征值和特征向量

一、题目

荒原之梦考研数学

设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足：对任意 $x _{ 1 }$, $x _{ 2 }$, $x _{ 3 }$ 均有 $\boldsymbol{A} \left( \begin{array} { c } x _{ 1 } \\ x _{ 2 } \\ x _{ 3 } \end{array} \right)$ $=$ $\left( \begin{array} { c } x _{ 1 } + x _{ 2 } + x _{ 3 } \\ 2 x _{ 1 } – x _{ 2 } + x _{ 3 } \\ x _{ 2 } – x _{ 3 } \end{array} \right)$

(1) 求 $\boldsymbol{A}$;

(2) 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 与对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$, 使得 $\boldsymbol{P ^ { – 1 } A P}$ $=$ $\boldsymbol{\Lambda}$.

难度评级：

矩阵乘法不能随便“拆”：一拆就可能“变味”了

一、题目

荒原之梦考研数学

已知 $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$, $\boldsymbol{C}$ 均为 $n$ 阶方阵，且 $\boldsymbol{A B C}$ $=$ $\boldsymbol{E}$, 其中，$\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位矩阵，则下面的式子一定成立的是哪个？

(A) $\boldsymbol{A C B}$ $=$ $\boldsymbol{E}$

(B) $\boldsymbol{C B A}$ $=$ $\boldsymbol{E}$

(C) $\boldsymbol{B C A}$ $=$ $\boldsymbol{E}$

(D) $\boldsymbol{B A C}$ $=$ $\boldsymbol{E}$

难度评级：

转置运算可以用来引入矩阵乘法

一、题目

荒原之梦考研数学

已知 $A$ 是 $n$ 阶正交矩阵，若 $|A|$ $=$ $1$, 请证明当 $n$ 为奇数时，有 $| \boldsymbol { E } – \boldsymbol { A } |$ $=$ $0$.

难度评级：

行列式|A-B|和|B-A|有什么关系？

一、前言

行列式 $|A – B|$ 与行列式 $|B – A|$ 之间有什么关系？在本文中，荒原之梦考研数学网就将大家想清楚这个问题。

行列式“剥洋葱”：对于行或者列之间存在普遍规律的行列式可以尝试先提取其“公共部分”

一、题目

已知 $a _{ i }$ $\neq$ $0$ ($i$ $=$ $1$, $2$, $3$, $4$), 则：

$$
|V| =
\begin{vmatrix}
& a_{1}^{3} & a_{1}^{2}b_{1} & a_{1}b_{1}^{2} & b_{1}^{3} & \\ \\
& a_{2}^{3} & a_{2}^{2}b_{2} & a_{2}b_{2}^{2} & b_{2}^{3} & \\ \\
& a_{3}^{3} & a_{3}^{2}b_{3} & a_{3}b_{3}^{2} & b_{3}^{3} & \\ \\
& a_{4}^{3} & a_{4}^{2}b_{4} & a_{4}b_{4}^{2} & b_{4}^{3} &
\end{vmatrix} ⁢= ?
$$

难度评级：

通过化简，我们可以直接完成行列式的求解

一、题目

荒原之梦考研数学

若行列式 $\begin{vmatrix}
x-5 & -6 & 3 \\
1 & x & -1 \\
-1 & -2 & x-1
\end{vmatrix}$ $=$ $0$, 那么，$x$ $=$ $?$

难度评级：

考研数学中那些“各种各样”的矩阵

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学网（zhaokaifeng.com）将考研数学中常用的矩阵都做了一个汇总，方便同学们对不同矩阵的性质做对比，从而更深刻的理解这些矩阵之间的区别、联系与性质。

伴随矩阵的特征值与原矩阵的特征值之间有什么关系？

一、题目

荒原之梦考研数学

已知 $\alpha$ $=$ $[ 1 , 3 , 2 ] ^ { \mathrm { \top } }$, $\beta$ $=$ $[ 1 , – 1 , 2 ] ^ { \mathrm { \top } }$, 且矩阵 $A$ 与 $\alpha \beta ^ { \mathrm { \top } }$ 相似，那么 $( 2 A + E ) ^ { * }$ 的特征值是多少？

难度评级：

单位矩阵很可能“引”出来互逆矩阵

一、题目

荒原之梦考研数学

已知 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol { A }$, $\boldsymbol { B }$ 和 $\boldsymbol { C }$ 满足关系式 $\boldsymbol { A } \boldsymbol { B C }$ $=$ $\boldsymbol { E }$, 其中 $\boldsymbol { E }$ 是 $n$ 阶单位矩阵，则以下结论正确的是哪个？

(A) $\boldsymbol { A } \boldsymbol { C B }$ $=$ $\boldsymbol { E }$

(B) $\boldsymbol { C B } \boldsymbol { A }$ $=$ $\boldsymbol { E }$

(C) $\boldsymbol { B C A }$ $=$ $\boldsymbol { E }$

(D) $\boldsymbol { B A } \boldsymbol { C }$ $=$ $\boldsymbol { E }$

难度评级：

矩阵乘法中的矩阵不满足消去律和交换律，但矩阵对应的行列式满足消去律和交换律

一、题目

荒原之梦考研数学

已知 $\boldsymbol { A }$ 与 $\boldsymbol { B }$ 为 $n$ 阶方阵，且 $\boldsymbol { A } \boldsymbol { B } = \boldsymbol { O }$, 则一定有：

(A) $\boldsymbol { A }$ $=$ $\boldsymbol { O }$ 或 $\boldsymbol { B }$ $=$ $\boldsymbol { O }$

(B) $| \boldsymbol { A } |$ $=$ $0$ 或 $| \boldsymbol { B } |$ $=$ $0$

(C) $\boldsymbol { A } \boldsymbol { B }$ $=$ $\boldsymbol { B } \boldsymbol { A }$

(D) $| \boldsymbol { A } |$ $+$ $| \boldsymbol { B } |$ $=$ $0$

难度评级：

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用行列式表示的方程该怎么求根？

一、题目

荒原之梦考研数学

记行列式 $\left| \begin{array} { c c c c } x – 2 & x – 1 & x – 2 & x – 3 \\ 2 x – 2 & 2 x – 1 & 2 x – 2 & 2 x – 3 \\ 3 x – 3 & 3 x – 2 & 4 x – 5 & 3 x – 5 \\ 4 x & 4 x – 3 & 5 x – 7 & 4 x – 3 \end{array} \right|$ 为 $f ( x )$, 则方程 $f ( x )$ $=$ $0$ 的实根的个数是多少？

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

难度评级：

高阶行列式的计算思路：降阶或者找规律

一、题目

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$$
\left| \begin{array} { c c c c c } a _{ 1 } & 0 & 0 & b _{ 1 } \\ 0 & a _{ 2 } & b _{ 2 } & 0 \\ 0 & b _{ 3 } & a _{ 3 } & 0 \\ b _{ 4 } & 0 & 0 & a _{ 4 } \end{array} \right| = ?
$$

(A) $a _{ 1 } a _{ 2 } a _{ 3 } a _{ 4 }$ $-$ $b _{ 1 } b _{ 2 } b _{ 3 } b _{ 4 }$

(B) $a _{ 1 } a _{ 2 } a _{ 3 } a _{ 4 }$ $+$ $b _{ 1 } b _{ 2 } b _{ 3 } b _{ 4 }$

(C) $\left( a _{ 2 } a _{ 3 } – b _{ 2 } b _{ 3 } \right)$ $\left( a _{ 1 } a _{ 4 } – b _{ 1 } b _{ 4 } \right)$

(D) $\left( a _{ 1 } a _{ 2 } – b _{ 1 } b _{ 2 } \right)$ $\left( a _{ 3 } a _{ 4 } – b _{ 3 } b _{ 4 } \right)$

难度评级：

矩阵的加减运算：只有同型矩阵才可以做加减运算，所得的也是同型矩阵

一、前言

通过本文中，我们将解决下面的问题：

什么样的矩阵可以做加减运算？
实际矩阵的加减运算怎么做？
抽象矩阵的加减运算有哪些定理？

当特征值等于零的时候，求解特征值和特征向量的式子其实就是一个齐次线性方程组

一、题目

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已知 $\boldsymbol { A }$ 是 $3$ 阶实对称矩阵， $\boldsymbol { \alpha }$ $=$ $( – 1 , 1 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$ 满足 $( \boldsymbol { A } – 2 \boldsymbol { E } ) \boldsymbol { \alpha }$ $=$ $0$, 且 $r ( \boldsymbol { A } )$ $=$ $1$, 则方程组 $\boldsymbol {A} x$ $=$ $0$ 的基础解系为：

A. $( 1 , 1 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( 1 , – 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} }$

B. $( 1 , 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$

C. $( 1 , 1 , – 1 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( – 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$

D. $( 1 , 1 , 0 ) ^ { \mathrm {\top} } , ( – 1 , 0 , 1 ) ^ { \mathrm {\top} }$

难度评级：

解题思路简图

graph TD
    A[原式] --> |变形| B[特征值] --> |公式| C[特征向量];
    D[秩为 1] --> E[只有一个非零特征值] --> F[0 为二重特征值] --> |实对称矩阵| G[特征值对应的特征向量正交];
    C --> G;
    G --> H[求解特征值] --> |变形| I[验证选项]

2024年考研数二第22题解析：线性方程组、正交变换

一、题目

荒原之梦考研数学

设矩阵 $A$ $=$ $\begin{pmatrix}0 & 1 & a \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$, $B$ $=$ $\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \\ b & 2\end{pmatrix}$, 二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ $=$ $x^{T} B A x$. 已知方程组 $A x$ $=$ $0$ 的解均是 $B^{\top} x$ $=$ $0$ 的解，但这两个方程组不同解.

(1) 求 $a$, $b$ 的值;

(2) 求正交变换 $x$ $=$ $Q y$ 将 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形.

难度评级：

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