分类： 线性代数

一、题目

已知 $A$ 是任意一个 $n$ 阶矩阵，则以下哪些矩阵是对称的？

(1) $\mathit{A}+{\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}$; (2) $\mathit{A}-{\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}$; (3) $\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}$; (4) $\mathit{A}{\mathit{A}}^{\ast }$;
(5) ${\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}\mathit{A}$

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继续阅读“下面哪些矩阵是对称的？”

一、题目

已知 $\mathit{X}\mathit{A}+2\mathit{E}=\mathit{X}+\mathit{B}$, 其中 $\mathit{A}=\left[\begin{array}{ll}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right],\mathit{B}=\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& -1\end{array}\right]$, 则 $\mathit{X}=?$

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继续阅读“矩阵乘法和求逆运算都在这道题里了”

一、题目

已知 $A,B$ 均是 $n$ 阶可逆矩阵, 则以下错误的是哪个？

(A) ${\left[\begin{array}{ll}A& O\\ O& B\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right]$

(B) ${\left[\begin{array}{ll}\mathit{O}& \mathit{A}\\ \mathit{B}& \mathit{O}\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\mathit{O}& {\mathit{B}}^{-1}\\ {\mathit{A}}^{-1}& \mathit{O}\end{array}\right]$

(C) ${\left[\begin{array}{ll}\mathit{A}& \mathit{O}\\ \mathit{O}& \mathit{B}\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{cc}{\mathit{A}}^n& \mathit{O}\\ \mathit{O}& {\mathit{B}}^n\end{array}\right]$

(D) ${\left[\begin{array}{ll}\mathit{O}& \mathit{A}\\ \mathit{B}& \mathit{O}\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{cc}\mathit{O}& {\mathit{A}}^n\\ {\mathit{B}}^n& \mathit{O}\end{array}\right]$

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继续阅读“分块矩阵的逆运算和次方运算怎么算？”

一、题目

已知 ${\mathit{A}}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 2& -1\\ 1& 0& 2\end{array}\right]$, 则 $|\mathit{A}|$ 的代数余子式 $A_{11}+A_{12}+A_{13}=?$

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继续阅读“注意啦：题目给出的是逆矩阵，但是让求解的是原矩阵对应的行列式的代数余子式”

一、题目

矩阵 $\left[\begin{array}{lll}0& 0& a\\ 0& b& 0\\ c& 0& 0\end{array}\right]$ 的伴随矩阵为：

(A) $\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -bc\\ 0& -ac& 0\\ -ab& 0& 0\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -ab\\ 0& -ac& 0\\ -bc& 0& 0\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -bc\\ 0& ac& 0\\ -ab& 0& 0\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -ab\\ 0& ac& 0\\ -bc& 0& 0\end{array}\right]$

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继续阅读“在选择题中求解伴随矩阵的两种常用方法”

一、题目

已知 $\mathit{A},\mathit{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵, 则下列命题中正确的是哪个？

(A) $\mathit{A}\mathit{B}\ne \mathit{O}\iff \mathit{A}\ne \mathit{O}$ 且 $\mathit{B}\ne \mathit{O}$
(B) 如 $AB=O$, 则必有 $\mathit{A}=\mathit{O}$ 或 $\mathit{B}=\mathit{O}$
(C) 如 $\mathit{A}\mathit{B}=\mathit{O}$, 则 $|\mathit{A}|=0$ 或 $|\mathit{B}|=0$
(D) 如 $\mathit{A}\mathit{B}=\mathit{B}$, 则 $\mathit{A}=\mathit{E}$

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继续阅读“注意命题表述的区别：“则”是单向的，“等价”是双向的”

一、题目

已知 $\mathit{A},\mathit{B}$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵, 则以下运算正确的是哪个？

(A) $(\mathit{A}+\mathit{B})(\mathit{A}-\mathit{B})={\mathit{A}}^2-{\mathit{B}}^2$

(B) $(\mathit{A}+\mathit{B}{)}^{-1}={\mathit{A}}^{-1}+{\mathit{B}}^{-1}$

(C) $(\mathit{A}+\mathit{B}{)}^2={\mathit{A}}^2+2\mathit{A}\mathit{B}+{\mathit{B}}^2$

(D) $(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$

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继续阅读“数字的运算规律不能简单的套用到矩阵上”

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是 $n$ 阶矩阵, ${\mathit{A}}^{\mathrm{T}}$ 是 $\mathit{A}$ 的转置矩阵, ${\mathit{A}}^{\ast }$ 是 $\mathit{A}$ 的伴随矩阵, $\mathit{E}$ 是 $n$ 阶单位矩阵, ${\mathbf{\Lambda }}_1$, ${\mathrm{\Lambda }}_2$ 都是 $n$ 阶对角矩阵, 在下列运算中, 交换律一定成立的是哪个或者哪些？

(1) $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A$

(2) ${\mathrm{\Lambda }}_1{\mathrm{\Lambda }}_2={\mathrm{\Lambda }}_2{\mathrm{\Lambda }}_1$

(3) $A^m{A}^t=A^t{A}^m$

(4) $\mathit{A}{\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}={\mathit{A}}^{\mathrm{\top }}\mathit{A}$

(5) $\mathit{A}{\mathbf{\Lambda }}_1={\mathbf{\Lambda }}_1\mathit{A}$

(6) $(\mathit{A}+\mathit{E})(\mathit{A}-\mathit{E})=(\mathit{A}-\mathit{E})(\mathit{A}+\mathit{E})$

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继续阅读“你知道哪些矩阵运算满足交换律吗？”

一、题目

已知 $\mathit{J}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& & & \\ & 0& 1& & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & & 1\\ & & & & 0\end{array}\right]$ 和 $\mathit{A}=\left[a_{ij}\right]$ 都是 $n$ 阶矩阵，则 $\mathit{A}\mathit{J}=?$

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继续阅读“抽象矩阵空白的地方默认都是元素 “0””

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是三阶矩阵且 $(\mathit{A}-\mathit{E}{)}^{-1}={\mathit{A}}^2+\mathit{A}+\mathit{E}$, 则 $|\mathit{A}|=?$

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继续阅读“行列式的数乘和次幂各自有什么运算规律？”

一、题目

已知 $\mathit{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, ${\mathit{A}}^{\mathbf{\ast }}$ 是 $\mathit{A}$ 的伴随矩阵, 则 $|A^{\ast }|=?$

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继续阅读“伴随矩阵和原矩阵有什么关系？”

一、题目

已知 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\beta }}_1,{\mathit{\beta }}_2$ 均为四维列向量, $|{\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\beta }}_1|=a$, $|{\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\beta }}_2,{\mathit{\alpha }}_3|=b$, 则 $|{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\beta }}_1+2{\mathit{\beta }}_2|=?$

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继续阅读“交换一次行或者列的位置，行列式的值就要变一次正负号”

一、题目

已知 $\mathit{A}=[{\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3]$ 是三阶矩阵, 则下列行列式中等于 $|\mathit{A}|$ 的是哪个？

(A) $|{\mathit{\alpha }}_1-{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_2-{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\alpha }}_3-{\mathit{\alpha }}_1|$

(B) $|{\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_2+{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\alpha }}_3+{\mathit{\alpha }}_1|$

(C) $|{\mathit{\alpha }}_1+2{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2|$

(D) $|{\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2+{\mathit{\alpha }}_3,{\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2|$

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继续阅读“加加减减之后，矩阵 A 还是原来的“自己”吗？”

一、题目

已知，${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3$ 为三维列向量,矩阵 $\mathit{A}=[{\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,{\mathit{\alpha }}_3],\mathit{B}=[{\mathit{\alpha }}_3,2{\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2,3{\mathit{\alpha }}_2]$, 若行列式 $|\mathit{A}|=2$, 则行列式 $|\mathit{B}|=?$

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继续阅读“这里的矩阵 B 可以由矩阵 A 变过来，你看出来了吗？”

一、题目

下列行列式中, 行列式的值不等于 $24$ 的是哪个？

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继续阅读“副对角线不全为零的四阶行列式怎么求？”